己知函數(shù)f(x)=ex,xR.
(1)若直線y=kx+1與f(x)的反函數(shù)圖象相切,求實(shí)數(shù)k的值;
(2)設(shè)x﹥0,討論曲線y=f(x)與曲線y=mx2(m﹥0)公共點(diǎn)的個(gè)數(shù);
(3)設(shè),比較的大小并說明理由。

(1);(2)當(dāng)m時(shí),有0個(gè)公共點(diǎn);當(dāng)m=,有1個(gè)公共點(diǎn);當(dāng)m有2個(gè)公共點(diǎn);(3).

解析試題分析:(1)f (x)的反函數(shù). 直線y=kx+1恒過點(diǎn)P(0,1),該題即為過某點(diǎn)與曲線相切的問題,這類題一定要先設(shè)出切點(diǎn)的坐標(biāo),然后求導(dǎo)便可得方程組,解方程組即可得k的值.
(2)曲線y=f(x)與曲線 的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)即方程 根的個(gè)數(shù). 而這個(gè)方程可化為
,令,結(jié)合的圖象即可知道取不同值時(shí),方程的根的個(gè)數(shù).
(3) 比較兩個(gè)式子的大小的一般方法是用比較法,即作差,變形,判斷符號(hào).
 
 
結(jié)合這個(gè)式子的特征可看出,我們可研究函數(shù)的函數(shù)值的符號(hào),而用導(dǎo)數(shù)即可解決.
試題解析:(1)f(x)的反函數(shù).設(shè)直線y=kx+1與相切于點(diǎn),則.所以                      4分
(2)當(dāng)x>0,m>0時(shí),曲線y=f(x)與曲線的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)即方程根的個(gè)數(shù). 5分
,令
上單調(diào)遞減,這時(shí); 上單調(diào)遞增,這時(shí);所以的最小值.     6分
所以對(duì)曲線y=f(x)與曲線公共點(diǎn)的個(gè)數(shù),討論如下:
當(dāng)m時(shí),有0個(gè)公共點(diǎn);
當(dāng)m=,有1個(gè)公共點(diǎn);
當(dāng)m有2個(gè)公共點(diǎn);                  8分
(3)設(shè) 
          9分
,則,
的導(dǎo)函數(shù),所以上單調(diào)遞增,且,因此,上單調(diào)遞增,而,所以在.  12分
當(dāng)時(shí),,
 
所以當(dāng)時(shí),                    14分
考點(diǎn):1、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用;2、方程的根;3、比較大小.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

已知函數(shù)f(x)=x2bxc(bc∈R),對(duì)任意的x∈R,恒有f′(x)≤f(x).
(1)證明:當(dāng)x≥0時(shí),f(x)≤(xc)2;
(2)若對(duì)滿足題設(shè)條件的任意bc,不等式f(c)-f(b)≤M(c2b2)恒成立,求M的最小值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

某跨國飲料公司對(duì)全世界所有人均GDP(即人均純收入)在0.5—8千美元的地區(qū)銷售,該公司M飲料的銷售情況的調(diào)查中發(fā)現(xiàn):人均GDP處在中等的地區(qū)對(duì)該飲料的銷售量最多,然后向兩邊遞減.
(1)下列幾個(gè)模擬函數(shù)中(x表示人均GDP,單位:千美元;y表示年人均M飲料的銷量,單位:升),用哪個(gè)來描述人均,飲料銷量與地區(qū)的人均GDP的關(guān)系更合適?說明理由.

A. B. C. D.
(2)若人均GDP為1千美元時(shí),年人均M飲料的銷量為2升;人均GDP為4千美元時(shí),年人均M飲料的銷量為5升;把你所選的模擬函數(shù)求出來.;
(3)因?yàn)镸飲料在N國被檢測(cè)出殺蟲劑的含量超標(biāo),受此事件影響,M飲料在人均GDP不高于3千美元的地區(qū)銷量下降5%,不低于6千美元的地區(qū)銷量下降5%,其他地區(qū)的銷量下降10%,根據(jù)(2)所求出的模擬函數(shù),求在各個(gè)地區(qū)中,年人均M飲料的銷量最多為多少?

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

已知函數(shù)的定義域?yàn)榧?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/5a/3/3pthx1.png" style="vertical-align:middle;" />.
(1)若函數(shù)的定義域也為集合的值域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/af/f/13ygw2.png" style="vertical-align:middle;" />,求;
(2)已知,若,求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

已知函數(shù)滿足.
(1)求的解析式;
(2)對(duì)于(1)中得到的函數(shù),試判斷是否存在,使在區(qū)間上的值域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/a3/9/18b9s3.png" style="vertical-align:middle;" />?若存在,求出;若不存在,請(qǐng)說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

已知函數(shù)的自變量的取值區(qū)間為A,若其值域區(qū)間也為A,則稱A為的保值區(qū)間.
(Ⅰ)求函數(shù)形如的保值區(qū)間;
(Ⅱ)函數(shù)是否存在形如的保值區(qū)間?若存在,求出實(shí)數(shù)的值,若不存在,請(qǐng)說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

已知向量,,其中.函數(shù)在區(qū)間上有最大值為4,設(shè).
(1)求實(shí)數(shù)的值;
(2)若不等式上恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

某種商品原來每件售價(jià)為25元,年銷售8萬件.
(1)據(jù)市場(chǎng)調(diào)查,若價(jià)格每提高1元,銷售量將相應(yīng)減少2000件,要使銷售的總收入不低于原收入,該商品每件定價(jià)最多為多少元?
(2)為了擴(kuò)大該商品的影響力,提高年銷售量.公司決定明年對(duì)該商品進(jìn)行全面技術(shù)革新和營銷策略改革,并提高定價(jià)到元.公司擬投入萬元作為技改費(fèi)用,投入50萬元作為固定宣傳費(fèi)用,投入萬元作為浮動(dòng)宣傳費(fèi)用.試問:當(dāng)該商品明年的銷售量至少應(yīng)達(dá)到多少萬件時(shí),才可能使明年的銷售收入不低于原收入與總投入之和?并求出此時(shí)商品的每件定價(jià).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

已知二次函數(shù)的圖像頂點(diǎn)為,且圖像在軸截得的線段長為6.
(Ⅰ)求;
(Ⅱ)若在區(qū)間上單調(diào),求的范圍.

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