Question

1．如圖，在三棱錐P-ABC中，PC⊥平面ABC，∠PAC=30°，∠ACB=45°，BC=2$\sqrt{2}$，PA⊥AB．
（1）求PC的長；
（2）若點M在側棱PB上，且$\overrightarrow{BM}=λ\overrightarrow{MP}$，當λ為何值時，二面角B-AC-M的大小為30°．

Answer 1

分析 （1）以A為原點，AB為x軸，AC為y軸，過A作平面ABC的垂線為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出PC．
（2）求出平面ACM的一個法向量和平面ABC的一個法向量，利用向量法能求出當λ=1時，二面角B-AC-M的大小為30°．

解答 解：（1）∵PC⊥平面ABC，PA⊥AB，∴AB⊥AC，
以A為原點，AB為x軸，AC為y軸，過A作平面ABC的垂線為z軸，建立空間直角坐標系，
∵PA⊥AB，∴$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{BA}$=0，
∴（$\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{CA}$）•（$\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}$）=$\overrightarrow{PC}•\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{PC}•\overrightarrow{CA}-\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}+{\overrightarrow{CA}}^{2}$=0，
∵PC⊥平面ABC，∴$\overrightarrow{PC}$•$\overrightarrow{BC}$=0，$\overrightarrow{PC}•\overrightarrow{CA}$=0，
∴-|$\overrightarrow{CA}$|•|$\overrightarrow{CB}$|cos∠ACB+|$\overrightarrow{CA}$|²=0，
即-$\frac{\sqrt{2}}{2}×2\sqrt{2}+|\overrightarrow{CA}|=0$，
解得AC=2，
在Rt$△PAC\$中，PC=ACsin30°=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
（2）B（2，0，0），C（0，2，0），P（0，2，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$），
∵點M在側棱PB上，且$\overrightarrow{BM}=λ\overrightarrow{MP}$，
∴M（$\frac{2}{1+λ}$，$\frac{2λ}{1+λ}$，$\frac{\frac{2\sqrt{3}}{3}λ}{1+λ}$），
設平面ACM的一個法向量為$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AC}=2y=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AM}=2x+2λy+\frac{2\sqrt{3}}{3}λz=0}\end{array}\right.$，取z=1，得$\overrightarrow{m}$=（-$\frac{\sqrt{3}}{3}λ，0，1$），
平面ABC的一個法向量$\overrightarrow{n}$=（0，0，1），
∵二面角B-AC-M的大小為30°，
∴cos30°=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{3}{λ}^{2}+1}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
解得λ=1或λ=-1（舍），
∴當λ=1時，二面角B-AC-M的大小為30°．

點評 本題考查線段長的求法，考查滿足條件的實數(shù)值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．