Question

6．給出下列命題：
①若數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，S_n為其前n項和，則S_n，S_2n-S_n，S_3n-S_2n是等差數(shù)列；
②若數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，S_n為其前n項和，則S_n，S_2n-S_n，S_3n-S_2n是等比數(shù)列；
③若數(shù)列{a_n}，{b_n}均為等差數(shù)列，則數(shù)列{a_n+b_n}為等差數(shù)列；
④若數(shù)列{a_n}，{b_n}均為等比數(shù)列，則數(shù)列{a_n•b_n}為等比數(shù)列
其中真命題的個數(shù)為（　�。�

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 ①設(shè)等差數(shù)列a_n的首項為a₁，公差為d，則S_n=a₁+a₂+…+a_n，S_2n-S_n=a_n+1+a_n+2+…+a_2n=a₁+nd+a₂+nd+…+a_n+nd=S_n+n²d，同理：S_3n-S_2n=a_2n+1+a_2n+2+…+a_3n=a_n+1+a_n+2+…+a_2n+n²d=S_2n-S_n+n²d，即可判斷出結(jié)論．
②取數(shù)列-1，1，-1，1，…，S_n可能為0，因此不成等比數(shù)列，即可判斷出；
③設(shè)a_n=a₁+（n-1）d₁，b_n=b₁+（n-1）d₂，則a_n+b_n=（a₁+b₁）+（n-1）（d₁+d₂），即可判斷出結(jié)論．
④設(shè)a_n=a₁${q}_{1}^{n-1}$，b_n=b₁${q}_{2}^{n-1}$，則a_n•b_n=a₁b₁$（{q}_{1}{q}_{2}）^{n-1}$，即可判斷出結(jié)論．

解答 解：①設(shè)等差數(shù)列a_n的首項為a₁，公差為d，則S_n=a₁+a₂+…+a_n，S_2n-S_n=a_n+1+a_n+2+…+a_2n=a₁+nd+a₂+nd+…+a_n+nd=S_n+n²d，同理：S_3n-S_2n=a_2n+1+a_2n+2+…+a_3n=a_n+1+a_n+2+…+a_2n+n²d=S_2n-S_n+n²d，∴2（S_2n-S_n）=S_n+（S_3n-S_2n），∴S_n，S_2n-S_n，S_3n-S_2n是等差數(shù)列．正確．
②取數(shù)列-1，1，-1，1，…，S_n可能為0，因此不成等比數(shù)列，不正確；
③設(shè)a_n=a₁+（n-1）d₁，b_n=b₁+（n-1）d₂，則a_n+b_n=（a₁+b₁）+（n-1）（d₁+d₂），故數(shù)列{a_n+b_n}為等差數(shù)列，正確．
④設(shè)a_n=a₁${q}_{1}^{n-1}$，b_n=b₁${q}_{2}^{n-1}$，則a_n•b_n=a₁b₁$（{q}_{1}{q}_{2}）^{n-1}$，因此數(shù)列{a_n•b_n}為等比數(shù)列，正確．
其中真命題的個數(shù)為3．
故選：C．

點評 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的定義及通項公式求和公式及其性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．