Question

12．已知雙曲線$E：\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$的右頂點為A，拋物線C：y²=8ax的焦點為F．若在E的漸近線上存在點P，使得$\overrightarrow{AP}⊥\overrightarrow{FP}$，則E的離心率的取值范圍是（　�。�

• A． （1，2）
• B． （1，$\frac{3\sqrt{2}}{4}$]
• C． $[{\frac{{3\sqrt{2}}}{4}，+∞}）$
• D． （2，+∞）

Answer 1

分析 求出雙曲線的右頂點和漸近線方程，拋物線的焦點坐標，可設P（m，$\frac{a}$m），以及向量的垂直的條件：數(shù)量積為0，再由二次方程有實根的條件：判別式大于等于0，化簡整理，結合離心率公式即可得到所求范圍．

解答 解：雙曲線$E：\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$的右頂點為A（a，0），
拋物線C：y²=8ax的焦點為F（2a，0），
雙曲線的漸近線方程為y=±$\frac{a}$x，
可設P（m，$\frac{a}$m），
即有$\overrightarrow{AP}$=（m-a，$\frac{a}$m），$\overrightarrow{FP}$=（m-2a，$\frac{a}$m），
由$\overrightarrow{AP}⊥\overrightarrow{FP}$，可得$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{FP}$=0，
即為（m-a）（m-2a）+$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$m²=0，
化為（1+$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$）m²-3ma+2a²=0，
由題意可得△=9a²-4（1+$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$）•2a²≥0，
即有a²≥8b²=8（c²-a²），
即8c²≤9a²，
則e=$\frac{c}{a}$≤$\frac{3\sqrt{2}}{4}$．
由e＞1，可得1＜e≤$\frac{3\sqrt{2}}{4}$．
故選：B．

點評 本題考查雙曲線的離心率的范圍，考查拋物線的焦點和向量的數(shù)量積的性質，注意運用二次方程有實根的條件：判別式大于等于0，考查運算能力，屬于中檔題．