Question

12．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且S_n=2a_n+n．
（1）證明：數(shù)列{a_n-1}為等比數(shù)列；
（2）求S_n．

Answer 1

分析 （1）利用遞推關(guān)系變形可得：a_n-1=2（a_n-1-1），即可證明．
（2）利用等比數(shù)列的求和公式即可得出．

解答 解：（1）當(dāng)n=1時，S₁=a₁=2a₁+1，a₁=-1．
由S_n=2a_n+n①，得n≥2時，S_n-1=2a_n-1+n-1，②
①-②得：a_n=2a_n-2a_n-1+1，a_n=2a_n-1-1，
兩邊同時減1得：a_n-1=2a_n-1-2=2（a_n-1-1），
∴{a_n-1}是-2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列．
（2）由（1）可得：a_n-1=-2ⁿ，∴a_n=-2ⁿ+1，
∴S_n=-（2+2²+…+2ⁿ）+n=-$\frac{2（{2}^{n}-1）}{2-1}$+n=-2ⁿ⁺¹+2+n．

點(diǎn)評 本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．