Question

8．如圖，在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且3bsinA=c，D為AC邊上一點．
（1）若c=2b=4，S_△ABC=$\frac{5}{3}$，求DC的長；
（2）若D是AC的中點，且A=$\frac{π}{4}$，BD=$\sqrt{26}$，求△ABC的最短邊的邊長．

Answer 1

分析 （1）由已知及正弦定理可得sinC=2sinB，$sinAsinB=\frac{1}{3}sinC$，解得sinA的值，利用三角形面積公式可求AC的值，進而可求CD的值．
（2）由已知可求$c=\frac{{3\sqrt{2}}}{2}b$，${c^2}+\frac{1}{4}{b^2}-\frac{{\sqrt{2}}}{2}bc=26$，進而解得b，c的值，利用余弦定理即可得解a的值．

解答 （本題滿分為12分）
解：（1）∵c=2b，∴sinC=2sinB，∵$sinAsinB=\frac{1}{3}sinC$，∴$sinA=\frac{2}{3}$，
∴${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}bcsinA=\frac{8}{3}$，∵$AC=2，{S_{△BCD}}=\frac{5}{3}，\frac{CD}{AC}=\frac{{{S_{△BCD}}}}{{{S_{△ABC}}}}$，
∴$CD=\frac{5}{4}$．------（6分）
（2）在△ABD中，$A=\frac{π}{4}$，3bsinA=c
則$c=\frac{{3\sqrt{2}}}{2}b$，${c^2}+\frac{1}{4}{b^2}-\frac{{\sqrt{2}}}{2}bc=26$，
解得$b=2\sqrt{2}，c=6$．
在△ABC中，$cosA=\frac{{\sqrt{2}}}{2}=\frac{{{b^2}+{c^2}-{a^2}}}{2bc}=\frac{{8+36-{a^2}}}{{24\sqrt{2}}}$，解得$a=2\sqrt{5}$
∴△ABC的最短邊的邊長$2\sqrt{2}$．------（12分）

點評 本題主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面積公式在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．