Question

已知，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為

3

，以頂點A為球心，2為半徑作一個球，球面被正方體的側面BCC₁B₁，ABB₁A₁截得的兩段弧分別為

GF

，

FE

（如圖所示），則這兩段弧的長度之和等于

5 3 π

6

．

Answer 1

分析：球面與正方體的六個面都相交，所得的交線分為兩類：一類在頂點A所在的三個面上，即面AA₁B₁B、面ABCD和面AA₁D₁D上；另一類在不過頂點A的三個面上，即面BB₁C₁C、面CC₁D₁D和面A₁B₁C₁D₁上．由空間幾何知識能求出這兩段弧的長度之和．

解答：解：如圖，球面與正方體的六個面都相交，
所得的交線分為兩類：一類在頂點A所在的三個面上，即面AA₁B₁B、面ABCD和面AA₁D₁D上；
另一類在不過頂點A的三個面上，即面BB₁C₁C、面CC₁D₁D和面A₁B₁C₁D₁上．
在面AA₁B₁B上，交線為弧EF且在過球心A的大圓上，因為AE=2×

3

3

，AA₁=1，
則∠A₁AE=π/6．同理∠BAF=

π

6

，所以∠EAF=

π

6

，
故弧EF的長為：2×

3

3

×

π

6

=

3 π

9

，
而這樣的弧共有三條．
在面BB₁C₁C上，交線為弧FG且在距球心為1的平面與球面相交所得的小圓上，
此時，小圓的圓心為B，半徑為

3

3

，∠FBG=

π

2

，
所以弧FG的長為：

3

3

×

π

2

=

3 π

6

．
這樣的弧也有三條．于是，所得的曲線長為：
3×

3 π

9

+3×

3 π

6

=

5 3 π

6

．
故答案為：

5 3 π

6

．

點評：本題考查空間幾何的性質和綜合應用，解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉化．