Question

20．如圖所示的“相鄰塔”形立體建筑，已知P-OAC和Q-OBD是邊長(zhǎng)分別為a和$\frac{m}{a}（{m是常數(shù)}）$的兩個(gè)正四面體，底面中AB與CD交于點(diǎn)O，試求出塔尖P，Q之間的距離關(guān)于邊長(zhǎng)a的函數(shù)，并求出a為多少時(shí)，塔尖P，Q之間的距離最短．

Answer 1

分析 過(guò)點(diǎn)P作底面OAC的垂線交底面OAC于點(diǎn)O₁，過(guò)點(diǎn)Q作底面OBD的垂線交底面OBD于點(diǎn)O₂，連結(jié)O₁O₂，則四邊形PO₁O₂Q是直角梯形，由此能求出當(dāng)a=$\sqrt{m}$時(shí)，塔尖P，Q之間的距離最短．

解答 解：如圖，過(guò)點(diǎn)P作底面OAC的垂線交底面OAC于點(diǎn)O₁，
過(guò)點(diǎn)Q作底面OBD的垂線交底面OBD于點(diǎn)O₂，
連結(jié)O₁O₂，則O₁，O₂，O三點(diǎn)共線，且PO₁∥QO₂，
則四邊形PO₁O₂Q是直角梯形，
在Rt△OPO₁中，OP=a，OO₁=$\frac{2}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}a$=$\frac{\sqrt{3}}{3}a$，則PO₁=$\frac{\sqrt{6}}{3}a$，
同理，得OO₂=$\frac{\sqrt{3}}{3}\frac{m}{a}$，QO₂=$\frac{\sqrt{6}}{3}\frac{m}{a}$，
則PQ=$\sqrt{（{O}_{1}{{O}_{2}}^{2}+（Q{O}_{2}-P{O}_{1}）^{2}}$
=$\sqrt{（\frac{\sqrt{3}}{3}a+\frac{\sqrt{3}}{3}\frac{m}{a}）^{2}+（\frac{\sqrt{6}}{3}\frac{m}{a}-\frac{\sqrt{6}}{3}a）^{2}}$
=$\sqrt{{a}^{2}+\frac{{m}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{2}{3}m}$，
PQ=$\sqrt{{a}^{2}+\frac{{m}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{2}{3}m}$≥$\sqrt{2\sqrt{{a}^{2}•\frac{{m}^{2}}{{a}^{2}}}-\frac{2}{3}m}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$$\sqrt{m}$（${a}^{2}=\frac{{m}^{2}}{{a}^{2}}$，當(dāng)a=$\sqrt{m}$時(shí)，等號(hào)成立），
則當(dāng)a=$\sqrt{m}$時(shí)，塔尖P，Q之間的距離最短．

點(diǎn)評(píng) 本題考查兩點(diǎn)間距離最小的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．