已知直線C1：
x=1+tcosα
y=tsinα
(t為參數(shù)），C2：
x=cosθ
y=sinθ
(θ為參數(shù)）．
（1）當α=
π
3
時，求C1被C2截得的弦長；
（2）過坐標原點O作C1的垂線，垂足為A，當α變化時，求A點的軌跡的參數(shù)方程．
分析：（1）先消去參數(shù)將曲線C1與C2的參數(shù)方程化成普通方程，再利用圓的性質(zhì)結合圓心O到直線C1的距離，求出C1被C2截得的弦長即可，
（2）C1的普通方程為xsinα-ycosα-sinα=0，利用兩線的垂直關系得出直線OA的方程，再聯(lián)立兩直線的方程求出交點的坐標，即得A點軌跡的參數(shù)方程．
解答：解：（1）C1的普通方程為y=
3
(x-1)，C2的普通方程為x2+y2=1，…（2分）
∴圓心O到直線C1的距離d=
3
2
，
∴C1被C2截得的弦長2
1-
3
4
=1． …（4分）
（2）C1的普通方程為xsinα-ycosα-sinα=0，
∴直線OA：y=-
cosα
sinα
x，…（6分）
由
xsinα-ycosα-sinα=0
y=-
cosα
sinα
x
得A（sin2α，-sinαcosα）…（8分）
∴A點的軌跡的參數(shù)方程
x=sin2α
y=-sinαcosα
(α為參數(shù)）．                …（10分）
點評：本題主要考查直線與圓的參數(shù)方程，參數(shù)方程與普通方程的互化，利用參數(shù)方程研究軌跡問題的能力．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知直線C1：
x=1+
4
5
t
y=-1-
3
4
t
（t為參數(shù)），曲線C2：ρ=
2
cos（θ+
π
4
）．
（Ⅰ）求直線C1的普通方程與曲線C2的直角坐標方程；
（Ⅱ）求直線C1被曲線C2所截的弦長．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（1）已知直線C1：
x=1+tcosα
y=tsinα
（t為參數(shù)），C2：
x=cosθ
y=sinθ
（θ為參數(shù)）．
（Ⅰ）當α=
π
3
時，求C1與C2的交點坐標；
（Ⅱ）過坐標原點O做C1的垂線，垂足為A，P為OA中點，當α變化時，求P點的軌跡的參數(shù)方程．
（2）已知正實數(shù)a、b、c滿足a2+4b2+c2=3．
（I）求a+2b+c的最大值；
（II）若不等式|x-5|-|x-1|≥a+2b+c恒成立，求實數(shù)x的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

選修4-4；坐標系與參數(shù)方程
已知直線C1：
x=1+tcosα
y=tsinα
（t為參數(shù)），C2：ρ=1．
（Ⅰ）當α=
π
3
時，求C1與C2的交點坐標；
（Ⅱ）以坐標原點O為圓心的圓與C1的相切，切點為A，P為OA中點，當α變化時，求P點的軌跡的參數(shù)方程，并指出它是什么曲線．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

本題有（1）、（2）、（3）三個選答題，每題7分，請考生任選2題作答，滿分14分．如果多作，則按所做的前兩題計分．作答時，先用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對應的題號涂黑，并將選題號填入括號中．
（1）選修4一2：矩陣與變換
設矩陣M所對應的變換是把坐標平面上的點的橫坐標伸長到2倍，縱坐標伸長到3倍的伸縮變換．
（Ⅰ）求矩陣M的特征值及相應的特征向量；
（Ⅱ）求逆矩陣M-1以及橢圓
x2
4
+
y2
9
=1在M-1的作用下的新曲線的方程．
（2）選修4一4：坐標系與參數(shù)方程
已知直線C1：
x=1+tcosα
y=tsinα
（t為參數(shù)），C2：
x=cosθ
y=sinθ
（θ為參數(shù)）．
（Ⅰ）當α=
π
3
時，求C1與C2的交點坐標；
（Ⅱ）過坐標原點O做C1的垂線，垂足為A，P為OA中點，當α變化時，求P點的軌跡的參數(shù)方程．
（3）選修4一5：不等式選講
已知a，b，c均為正實數(shù)，且a+b+c=1．求
4a+1
+
4b+1
+
4c+1
的最大值．

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