Question

6．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=3ⁿ-1
（1）求a₁+a₄+a₇+…+a_3n+1
（2）設(shè)b_n=a_n（log₃a_n+1-log₃2），求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）由數(shù)列的遞推式：當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁，當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1，即可得到{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求得b_n=2•3^n-1•log₃3ⁿ=2n•3^n-1．再由數(shù)列的求和方法：錯(cuò)位相減法，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，化簡整理，即可得到所求和．

解答 解：（1）數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和T_n滿足S_n=3ⁿ-1（n∈N^*），
當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=2，
當(dāng)n≥2時(shí)，b_n=S_n-S_n-1=3ⁿ-1-（3^n-1-1）=2•3^n-1．對n=1也成立；
{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=2•3^n-1；
可得a₁+a₄+a₇+…+a_3n+1=$\frac{2（1-2{7}^{n+1}）}{1-27}$=$\frac{2{7}^{n+1}-1}{13}$；
（2）b_n=a_n（log₃a_n+1-log₃2）=2•3^n-1•log₃$\frac{{a}_{n+1}}{2}$=2•3^n-1•log₃3ⁿ=2n•3^n-1，
前n項(xiàng)和T_n=2•3⁰+4•3¹+6•3²+…+2n•3^n-1．
3T_n=2•3+4•3²+6•3³+…+2n•3ⁿ．
相減可得-2T_n=2+2（3+3²+3³+…+3^n-1）-2n•3ⁿ
=2+2•$\frac{3（1-{3}^{n-1}）}{1-3}$-2n•3ⁿ．
化簡可得T_n=$\frac{1+（2n-1）•{3}^{n}}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，注意運(yùn)用數(shù)列的遞推式，考查數(shù)列的求和方法：錯(cuò)位相減法，考查化簡整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．