Question

16．已知定義在R上的奇函數(shù)f（x）滿足：當x≥0時，f（x）=x-sinx，若不等式f（-4t）＞f（2mt²+m）對任意實數(shù)t恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是（-∞，-$\sqrt{2}$）．

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性問題轉化為2mt²+4t+m＜0，通過討論m的范圍，得到關于m的不等式，求出m的范圍即可．

解答 解：由f（x）=x-sinx，可得f'（x）=1-cosx≥0，
故f（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增，
再由奇函數(shù)的性質(zhì)可知，f（x）在R上單調(diào)遞增，
由f（-4t）＞f（2mt²+m），
可得-4t＞2mt²+m，即2mt²+4t+m＜0，
當m=0時，不等式不恒成立；
當m≠0時，根據(jù)條件可得$\left\{\begin{array}{l}{m＜0}\\{△=16-8{m}^{2}＜0}\end{array}\right.$，
解之得m＜-$\sqrt{2}$，
綜上，m∈（-∞，-$\sqrt{2}$），
故答案為（-∞，-$\sqrt{2}$）．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問題，考查二次函數(shù)的性質(zhì)，是一道中檔題．