Question

2．已知a＞2，函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{a}x+x-3（x＞0）}\\{x-（\frac{1}{a}）^{x}+3（x≤0）}\end{array}\right.$，若f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)分別為x₁，x₂，則（　�。�

• A． ?a＞2，x₁+x₂=0
• B． ?a＞2，x₁+x₂=1
• C． ?a＞2，|x₁-x₂|=2
• D． ?a＞2，|x₁-x₂|=3

Answer 1

分析 可令f（x）=0，當(dāng)a＞2時(shí)，f（x）在（0，+∞）遞增，在（-∞，0]遞增，則設(shè)x₁＜0，x₂＞0，作出y=x+3，y=（$\frac{1}{a}$）^x，x≤0的圖象，可得交點(diǎn)A，y=3-x，y=log_ax，x＞0的圖象，可得交點(diǎn)C，作出y=a^x（x＞0）的圖象，可得交點(diǎn)B，可知A，B關(guān)于y軸對(duì)稱，直線y=x垂直平分BC，即可得到答案．

解答 解：可令f（x）=0，
當(dāng)a＞2時(shí)，f（x）在（0，+∞）遞增，在（-∞，0]遞增，
則設(shè)x₁＜0，x₂＞0，
即為x₁+3=（$\frac{1}{a}$）${\;}^{{x}_{1}}$，
3-x₂=log_ax₂，
作出y=x+3，y=（$\frac{1}{a}$）^x，x≤0的圖象，可得交點(diǎn)A，
y=3-x，y=log_ax，x＞0的圖象，可得交點(diǎn)C，
作出y=a^x（x＞0）的圖象，可得交點(diǎn)B，
可知A，B關(guān)于y軸對(duì)稱，
直線y=x垂直平分BC，
即有x_B=-x₁，y_B=x₂，
且B在直線y=3-x上，即有x₂-x₁=3．
故?a＞2，|x₁-x₂|=3，
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的零點(diǎn)問題的解法，注意運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想方法，以及對(duì)稱思想，考查作圖能力以及轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．