Question

【題目】已知圓的圓心為原點(diǎn)，且與直線相切.

（1）求圓的方程；

（2）點(diǎn)在直線上，過點(diǎn)引圓的兩條切線，切點(diǎn)為，求證：直線恒過定點(diǎn).

Answer 1

【答案】（1）（2）詳見解析

【解析】

試題分析：（1）由圓C與直線相切，得到圓心到直線的距離d=r，故利用點(diǎn)到直線的距離公式求出d的值，即為圓C的半徑，又圓心為原點(diǎn)，寫出圓C的方程即可；（2）由PA，PB為圓O的兩條切線，根據(jù)切線的性質(zhì)得到OA與AP垂直，OB與PB垂直，根據(jù)90°圓周角所對的弦為直徑可得A，B在以O(shè)P為直徑的圓上，設(shè)出P的坐標(biāo)為（8，b），由P和O的坐標(biāo)，利用線段中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出OP中點(diǎn)坐標(biāo)，即為以O(shè)P為直徑的圓的圓心坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式求出OP的長，即為半徑，寫出以O(shè)P為直徑的圓方程，整理后，由AB為兩圓的公共弦，兩圓方程相減消去平方項(xiàng)，得到弦AB所在直線的方程，可得出此直線方程過（2，0），得證

試題解析：（1）依題意得：圓的半徑，……………2分

所以圓的方程為。……………4分

（2）是圓的兩條切線，。

在以為直徑的圓上。……………6分

設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為。

以為直徑的圓方程為……………8分

化簡得：

為兩圓的公共弦，

直線的方程為……………10分

所以直線恒過定點(diǎn)。……………12分