Question

16．已知點(diǎn)P在以點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂分別為左、右焦點(diǎn)的雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$$-\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）上，且滿足$\overrightarrow{P{F}_{1}}$$•\overrightarrow{P{F}_{2}}$=0，tan∠PF₁F₂=$\frac{1}{3}$，則該雙曲線的離心率是（　　）

• A． $\frac{\sqrt{5}}{2}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． $\sqrt{5}$
• D． $\frac{\sqrt{10}}{2}$

Answer 1

分析 由已知得PF₁⊥PF₂，由tan∠PF₁F₂=$\frac{1}{3}$，得$\frac{P{F}_{2}}{P{F}_{1}}$=$\frac{1}{3}$，設(shè)PF₂=x，則PF₁=3x，F(xiàn)₁F₂=2c=$\sqrt{10}x$，由雙曲線定義得2a=PF₁-PF₂=3x-x=2x，由此能求出該雙曲線的離心率．

解答 解：如圖，∵點(diǎn)P在以點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂分別為左、右焦點(diǎn)的雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$$-\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）上，且滿足$\overrightarrow{P{F}_{1}}$$•\overrightarrow{P{F}_{2}}$=0，
∴PF₁⊥PF₂，∵tan∠PF₁F₂=$\frac{1}{3}$，∴$\frac{P{F}_{2}}{P{F}_{1}}$=$\frac{1}{3}$，
設(shè)PF₂=x，則PF₁=3x，
∴F₁F₂=2c=$\sqrt{P{{F}_{1}}^{2}+P{{F}_{2}}^{2}}$=$\sqrt{9{x}^{2}+{x}^{2}}$=$\sqrt{10}x$，
由雙曲線定義得2a=PF₁-PF₂=3x-x=2x，
∴該雙曲線的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2c}{2a}$=$\frac{\sqrt{10}}{2}$．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的離心率的求法，注意運(yùn)用勾股定理和雙曲線的定義，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．