Question

4．若變量x，y滿足約束條件$\left\{\begin{array}{l}x+y≥1\\ x-y≥-1\\ 2x-y≤2\end{array}$，
（1）求目標函數(shù)z=$\sqrt{{x^2}+{y^2}}$的最大值和最小值；
（2）若目標函數(shù)z=ax+2y僅在點（1，0）處取得最小值，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 由約束條件作出可行域．
（1）直接由z=$\sqrt{{x^2}+{y^2}}$的幾何意義，即可行域內(nèi)的動點到原點的距離求解；
（2）求出已知兩直線的斜率，數(shù)形結(jié)合得答案．

解答 解：由約束條件$\left\{\begin{array}{l}x+y≥1\\ x-y≥-1\\ 2x-y≤2\end{array}$作出可行域如圖，
（1）z=$\sqrt{{x^2}+{y^2}}$的幾何意義為可行域內(nèi)的動點到原點的距離，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x-y=-1}\\{2x-y=2}\end{array}\right.$，解得C（3，4），
∴|OC|=5，又O到直線x+y=1的距離d=$\frac{|-1|}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴${z_{max}}=5，{z_{min}}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$；
（2）∵直線x+y=1的斜率為-1，直線2x-y=2的斜率為2，
∴要使目標函數(shù)z=ax+2y僅在點（1，0）處取得最小值，
則$-1＜-\frac{a}{2}＜2$，解得-4＜a＜2．
∴a的取值范圍為a∈（-4，2）．

點評 本題考查簡單的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法和數(shù)學轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．