Question

9．已知函數(shù)f（x）=sin2xcos$\frac{π}{5}-cos2xsin\frac{π}{5}$．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期和對稱軸的方程；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）在區(qū)間$[0，\frac{π}{2}]$上的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用兩角和與差以及輔助角公式基本公式將函數(shù)化為y=Asin（ωx+φ）的形式，再利用周期公式求函數(shù)的最小正周期，結合三角函數(shù)的圖象和性質，求對稱軸的方程．
（Ⅱ）當x∈$[0，\frac{π}{2}]$上時，求出內(nèi)層函數(shù)的取值范圍，結合三角函數(shù)的圖象和性質，求出f（x）的最大值．

解答 解：（Ⅰ）$f（x）=sin2xcos\frac{π}{5}-cos2xsin\frac{π}{5}=sin（2x-\frac{π}{5}）$，
所以f（x）的最小正周期$T=\frac{2π}{2}=π$．
因為y=sinx的對稱軸方程為$x=kπ+\frac{π}{2}，k∈Z$
令$2x-\frac{π}{5}=\frac{π}{2}+kπ，k∈Z$，
得$x=\frac{7π}{20}+\frac{1}{2}kπ，k∈Z$．
f（x）的對稱軸方程為$x=\frac{7π}{20}+\frac{1}{2}kπ，k∈Z$．
或者：$2x-\frac{π}{5}=\frac{π}{2}+2kπ$和$2x-\frac{π}{5}=-\frac{π}{2}+2kπ，k∈Z$，
即$x=\frac{7π}{20}+kπ$和$x=-\frac{3π}{20}+kπ，k∈Z$．
（Ⅱ）∵$x∈[0，\frac{π}{2}]$，
∴2x∈[0，π]，
∴$2x-\frac{π}{5}∈[-\frac{π}{5}，\frac{4π}{5}]$，
∴當$2x-\frac{π}{5}=\frac{π}{2}$，即$x=\frac{7π}{20}$時，函數(shù)f（x）取得最大值．
∴f（x）在區(qū)間$[0，\frac{π}{2}]$上的最大值為1．

點評 本題主要考查對三角函數(shù)的化簡能力和三角函數(shù)的圖象和性質的運用，利用三角函數(shù)公式將函數(shù)進行化簡是解決本題的關鍵．屬于基礎題．