Question

已知圓C：x²+y²+2x-4y+3=0.
(1)若圓C的切線(xiàn)在x軸和y軸上截距相等，求切線(xiàn)的方程;
(2)從圓C外一點(diǎn)P(x，y)向圓引切線(xiàn)PM，M為切點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且有|PM|=|PO|，求使|PM|最小的點(diǎn)P的坐標(biāo).

Answer 1

1、切線(xiàn)方程為y=(2±)x,x+y+1=0或x+y-3=0.
2、P(-，).

(1)圓C：x²+y²+2x-4y+3=0的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+1)²+(y-2)²=2，
∴圓心C(-1，2)，半徑r=.
設(shè)圓C的切線(xiàn)在x軸和y軸上的截距分別為a、b.
當(dāng)a=b=0時(shí)，
切線(xiàn)方程可設(shè)為y=kx，
即kx-y=0.
由點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式得
=.解得k=2±.
∴切線(xiàn)方程為y=(2±)x.
當(dāng)a=b≠0時(shí)，
切線(xiàn)方程為+=1，
即x+y-a=0.
由點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式得
=.
解之,得a=-1或a=3.
∴切線(xiàn)方程為x+y+1=0,x+y-3=0.
總之，所求切線(xiàn)方程為y=(2±)x,x+y+1=0或x+y-3=0.
(2)連結(jié)MC，則|PM|²=|PC|²-|MC|^2.
∵|PM|=|PO|,
∴|PC|²-|MC|²=|PO|²,
即(x+1)²+(y-2)²-2=x²+y^2.
整理得x=2y-.
∴|PM|=|PO|=
=.
當(dāng)y=-=時(shí)，|PM|最小,
此時(shí)x=2×-=-.
∴P(-，).