Question

12．已知數(shù)列{a_n}，{b_n}都是單調(diào)遞增數(shù)列，若將這兩個(gè)數(shù)列的項(xiàng)按由小到大的順序排成一列（相同的項(xiàng)視為一項(xiàng)），則得到一個(gè)新數(shù)列{c_n}．
（1）設(shè)數(shù)列{a_n}，{b_n}分別為等差、等比數(shù)列，若a₁=b₁=1，a₂=b₃，a₆=b₅，求c₂₀；
（2）設(shè){a_n}的首項(xiàng)為1，各項(xiàng)為正整數(shù)，b_n=3ⁿ，若新數(shù)列{c_n}是等差數(shù)列，求數(shù)列{c_n} 的前n項(xiàng)和S_n；
（3）設(shè)b_n=q^n-1（q是不小于2的正整數(shù)），c₁=b₁，是否存在等差數(shù)列{a_n}，使得對(duì)任意的n∈N^*，在b_n與b_n+1之間數(shù)列{a_n}的項(xiàng)數(shù)總是b_n？若存在，請(qǐng)給出一個(gè)滿足題意的等差數(shù)列{a_n}；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，等比數(shù)列{b_n}的公比為q，由題意得，$\left\{\begin{array}{l}{1+d={q}^{2}}\\{1+5d={q}^{4}}\end{array}\right.$，解得d=0或3，因數(shù)列{a_n}，{b_n}單調(diào)遞增，d＞0，q＞1，可得a_n=3n-2，b_n=2^n-1，利用通項(xiàng)公式即可得出．
（2）設(shè)等差數(shù)列{c_n}的公差為d，又a₁，且b_n=3ⁿ，所以c₁=1，所以c_n=dn+1-d．因?yàn)閎₁=3是{c_n}中的項(xiàng)，所以設(shè)b₁=c_n，即d（n-1）=2．當(dāng)n≥4時(shí)，解得d=$\frac{2}{n-1}$＜1，不滿足各項(xiàng)為正整數(shù)當(dāng)b₁=c₃=3時(shí)，當(dāng)b₁=c₂=3時(shí)，即可得出．
（3）存在等差數(shù)列{a_n}，只需首項(xiàng)a₁∈（1，q），公差d=q-1．下證b_n與b_n+1之間數(shù)列{a_n}的項(xiàng)數(shù)為b_n．即證對(duì)任意正整數(shù)n，都有$\left\{\begin{array}{l}{_{n}＜{a}_{_{1}+_{2}+…+_{n-1}+1}}\\{_{n+1}＞{a}_{_{1}+_{2}+…+_{n}}}\end{array}\right.$，作差利用通項(xiàng)公式即可得出．

解答 解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，等比數(shù)列{b_n}的公比為q，
由題意得，$\left\{\begin{array}{l}{1+d={q}^{2}}\\{1+5d={q}^{4}}\end{array}\right.$，解得d=0或3，因數(shù)列{a_n}，{b_n}單調(diào)遞增，
所以d＞0，q＞1，
所以d=3，q=2，
所以a_n=3n-2，b_n=2^n-1．…（2分）
因?yàn)閍₁=b₁=1，a₂=b₃，a₆=b₅，b₇＞a₂₀．
∴c₂₀=a₁₇=49．…（4分）
（2）設(shè)等差數(shù)列{c_n}的公差為d，又a₁，且b_n=3ⁿ，
所以c₁=1，所以c_n=dn+1-d．
因?yàn)閎₁=3是{c_n}中的項(xiàng)，所以設(shè)b₁=c_n，即d（n-1）=2．
當(dāng)n≥4時(shí)，解得d=$\frac{2}{n-1}$＜1，不滿足各項(xiàng)為正整數(shù)；…（6分）
當(dāng)b₁=c₃=3時(shí)，d=1，此時(shí)c_n=n，只需取a_n=n，而等比數(shù)列{b_n}的項(xiàng)都是等差數(shù)列{a_n}，中的項(xiàng)，所以S_n=$\frac{n（n+1）}{2}$；…（8分）
當(dāng)b₁=c₂=3時(shí)，d=2，此時(shí)c_n=2n-1，只需取a_n=2n-1，
由3ⁿ=2m-1，得m=$\frac{{3}^{n}+1}{2}$，3ⁿ是奇數(shù)，3ⁿ+1 是正偶數(shù)，m有正整數(shù)解，
所以等比數(shù)列{b_n}的項(xiàng)都是等差數(shù)列{a_n}中的項(xiàng)，所以S_n=n²．…（10分）
綜上所述，數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和S_n=$\frac{n（n+1）}{2}$，或S_n=n²．…（11分）
（3）存在等差數(shù)列{a_n}，只需首項(xiàng)a₁∈（1，q），公差d=q-1…（13分）
下證b_n與b_n+1之間數(shù)列{a_n}的項(xiàng)數(shù)為b_n．即證對(duì)任意正整數(shù)n，都有$\left\{\begin{array}{l}{_{n}＜{a}_{_{1}+_{2}+…+_{n-1}+1}}\\{_{n+1}＞{a}_{_{1}+_{2}+…+_{n}}}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{_{n}＜{a}_{1+q+…+{q}^{n-2}+1}}\\{_{n+1}＞{a}_{1+q+…+{q}^{n-1}}}\end{array}\right.$成立．
由b_n-${a}_{1+q+…+{q}^{n-2}+1}$=q^n-1-a₁-（1+q+…+q^n-2）（q-1）=1-a₁＜0，
b_n+1-${a}_{1+q+…+{q}^{n-1}}$=qⁿ-a₁-（1+q+…+q^n-1-1）（q-1）=q-a₁＞0．．
所以首項(xiàng)a₁∈（1，q），公差d=q-1的等差數(shù)列{a_n}符合題意…（16分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求和公式及其性質(zhì)、分類討論方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．