Question

2．已知函數$f（x）=（{ax+a+2}）ln（{x+1}）+\frac{1}{2}a{x^2}-（{2+a}）x+1$．
（1）當a=1時，判斷f（x）的單調性；
（2）若f（x）在[0，+∞）上為單調增函數，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數的導數，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區(qū)間即可；
（2）通過討論a的范圍，求出函數的導數，得到函數的單調區(qū)間，從而確定a的范圍即可．

解答 解：（1）當a=1時，f'（x）=$\frac{x（x+3）}{（x+1）^{2}}$，f（x）在定義域 （-1，+∞）
∴f'（x）在（-1，0）上為減函數，在 （0，+∞）上為增函數，
∴函數的減區(qū)間為（-1，0），增區(qū)間為（0，+∞）；
（2）①當a≥1時，由于x∈[0，+∞），
∴$f'（x）=aln（{x+1}）+\frac{2}{x+1}+ax-2≥ln（{x+1}）+\frac{2}{x+1}+x-2≥0$，
所以滿足f（x）在[0，+∞）上為單調增函數，即a≥1；
②當0＜a＜1時，f'（x）=aln（x+1）+$\frac{2}{x+1}$+ax-2，
f''（x）=$\frac{a{x}^{2}+3ax+2a-2}{（s+1）^{2}}$，由方程ax²+3ax+2a-2=0的判別式：
△=a²+8a＞0，所以方程有兩根x₁，x₂，且由${x_1}{x_2}=\frac{{2（{a-1}）}}{a}＜0$，
∴x₁＜0＜x₂，
∴f'（x）在[0，x₂]上為減函數，由f'（0）=0可知，在x∈[0，x₂]時，f'（x）＜0，
這與 f（x）在[0，+∞）上為單調增函數相矛盾．
③當a≤0時，∵$f'（x）=aln（{x+1}）+\frac{2}{x+1}+ax-2$，
∴f″（x）=$\frac{{ax}^{2}+3ax+2a-2}{{（x+1）}^{2}}$＜0，
∴f'（x）在[0，+∞）上為減函數，由f'（0）=0可知，
在x∈（0，+∞）時，f'（x）＜0，
這與 f（x）在[0，+∞）上為單調增函數也是相矛盾，
綜上所述：實數a的取值范圍是[0，+∞）．

點評 本題考查了函數的單調性、最值問題，考查導數的應用以及分類討論思想，轉化思想，是一道綜合題．