Question

2．已知f（x）=（1-a）lnx+$\frac{a}{2}$x²-x（a＞0）．
（Ⅰ）當a=3時，其曲線在（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）討論f（x）的單調(diào)性；
（Ⅲ）若f（x）在（1，2）有零點，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)導數(shù)的幾何意義即可求出切線方程，
（Ⅱ）先求導，再分類討論，根據(jù)導數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性的關系即可求出，
（Ⅲ）結(jié)合（Ⅱ）的結(jié)論，根據(jù)函數(shù)零點存在定理，即可求出a的范圍．

解答 解：（Ⅰ）當a=3時，f（x）=-2lnx+$\frac{3}{2}$x²-x，
∴f′（x）=-$\frac{2}{x}$+3x-1，
∴k=f′（1）=-2+3-1=0，f（1）=$\frac{1}{2}$，
∴曲線在（1，f（1））處的切線方程為y=$\frac{1}{2}$；
（Ⅱ）∵f′（x）=$\frac{1-a}{x}$+ax-1=$\frac{a{x}^{2}-x+（1-a）}{x}$=$\frac{（x-1）（ax-a+1）}{x}$=$\frac{（x-1）（x-\frac{a-1}{a}）}{ax}$，
令f′（x）=0，解得x=1，或x=1-$\frac{1}{a}$，且1＞1-$\frac{1}{a}$
①當0＜a＜1時，1-$\frac{1}{a}$＜0，
當f′（x）＞0時，解得0＜x＜1，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，
當f′（x）＜0時，解得x＞1，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減，
②當a＞1時，1-$\frac{1}{a}$＞0，
當f′（x）＞0時，解得0＜x＜1-$\frac{1}{a}$或x＞1時，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，
當f′（x）＜0時，解得1-$\frac{1}{a}$＜x＜1，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減，
③當a=1時，1-$\frac{1}{a}$=0，
當f′（x）＞0時，解得x＞1，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，
當f′（x）＜0時，解得0＜x＜1，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減，
綜上所述，當0＜a＜1時，函數(shù)f（x）在（0，1）上遞增，在（1，+∞）上遞減，
當a=1時，函數(shù)f（x）在（0，1）上遞減，在（1，+∞）上遞增，
當a＞1時，函數(shù)f（x）在（0，1-$\frac{1}{a}$），（1，+∞）遞增，在（1-$\frac{1}{a}$，1）上遞減
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，①當0＜a＜1時，函數(shù)f（x）在（1，2）上遞減，
∴f（x）＜f（1）=1-$\frac{a}{2}$＜0，
∴f（x）在（1，2）上為無零點
②當a=1時，函數(shù)f（x）在（1，2）上遞增，
f（1）=-$\frac{1}{2}$＜0，f（2）=0，
∴f（x）在（1，2）上為無零點
當a＞1時，函數(shù)f（x）在（1，2）遞增，
∵f（x）在（1，2）有零點，
∴f（1）•f（2）＜0，
∴（$\frac{a}{2}$-1）（a-1）（2-ln2）＜0，
即（a-2）（a-1）＜0，
解得1＜a＜2，
綜上所述a的取值范圍為（1，2）．

點評 本題考查了導數(shù)的幾何意義以及導數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性關系以及函數(shù)零點的問題，關鍵是分類討論，考查了學生的分析解決問題的能力和轉(zhuǎn)化能力，屬于難題．