Question

18．已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{3}$-y²=1的右焦點是拋物線y²=2px（p＞0）的焦點，直線y=kx+m與拋物線交于A，B兩個不同的點，點M（2，2）是AB的中點，則△OAB（O為坐標原點）的面積是（　�。�

• A． 4$\sqrt{3}$
• B． 3$\sqrt{13}$
• C． $\sqrt{14}$
• D． 2$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 求出雙曲線方程的a，b，c，可得右焦點，即為拋物線的焦點，可得拋物線的方程，聯(lián)立直線方程，可得x的二次方程，運用判別式大于0以及韋達定理和中點坐標公式，以及弦長公式求得AB的長，由點到直線的距離公式可得O到AB的距離，再由三角形的面積公式，計算即可得到所求值．

解答 解：雙曲線$\frac{{x}^{2}}{3}$-y²=1的a=$\sqrt{3}$，b=1，c=$\sqrt{3+1}$=2，
右焦點為（2，0），
則拋物線y²=2px（p＞0）的焦點為（2，0），
即有2=$\frac{p}{2}$，解得p=4，即拋物線方程為y²=8x，
聯(lián)立直線y=kx+m，可得k²x²+（2km-8）x+m²=0，
判別式△=（2km-8）²-4k²m²＞0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），可得x₁+x₂=$\frac{8-2km}{{k}^{2}}$，
點M（2，2）是AB的中點，
可得$\frac{8-2km}{{k}^{2}}$=4，且2=2k+m，
解得k=2，m=-2．滿足判別式大于0．
即有x₁+x₂=4，x₁x₂=1，
可得弦長AB=$\sqrt{1+4}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{5}$•$\sqrt{16-4}$=2$\sqrt{15}$，
點O到直線2x-y-2=0的距離d=$\frac{|0-0-2|}{\sqrt{4+1}}$=$\frac{2}{\sqrt{5}}$，
則△OAB（O為坐標原點）的面積是$\frac{1}{2}$d•|AB|=$\frac{1}{2}$×$\frac{2}{\sqrt{5}}$×2$\sqrt{15}$=2$\sqrt{3}$．
故選：D．

點評 本題考查雙曲線和拋物線的方程和性質，考查直線方程與拋物線的方程聯(lián)立，運用韋達定理和中點坐標公式和弦長公式，考查點到直線的距離公式，以及三角形的面積公式的運用，化簡整理的運算能力，屬于中檔題．