Question

【題目】已知函數(shù)， （為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.

（1）若函數(shù)的圖象在處的切線方程為，求， 的值；

（2）若時(shí)，函數(shù)在內(nèi)是增函數(shù)，求的取值范圍；

（3）當(dāng)時(shí)，設(shè)函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象交于點(diǎn)、，過(guò)線段的中點(diǎn)作軸的垂線分別交、于點(diǎn)、，問(wèn)是否存在點(diǎn)，使在處的切線與在處的切線平行？若存在，求出的橫坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）， ；（2）；（3）不存在.

【解析】試題分析：

(1)利用導(dǎo)函數(shù)與切線的關(guān)系得到方程，解方程可得， ；

(2)函數(shù)為增函數(shù)，則即在內(nèi)恒成立，處理恒成立問(wèn)題可得的取值范圍是；

(3) 假設(shè)在點(diǎn)處的切線與在點(diǎn)處的切線平行，則， ①，討論可得矛盾，假設(shè)不成立，

故在點(diǎn)處的切線與在點(diǎn)處的切線不平行.

試題解析：（1）當(dāng)時(shí)， ，導(dǎo)數(shù)，

，

即函數(shù)的圖象在處的切線斜率為，切點(diǎn)為，

函數(shù)的圖象在處的切線方程為，

， ，

， ；

（2）時(shí)，函數(shù)在的解析式是，

導(dǎo)數(shù)，

函數(shù)在內(nèi)是增函數(shù)，

即在內(nèi)恒成立， ，

時(shí)， .

，故的取值范圍是；

（3）假設(shè)在點(diǎn)處的切線與在點(diǎn)處的切線平行，

設(shè)點(diǎn)， ， ，

則由題意得點(diǎn)、的橫坐標(biāo)與中點(diǎn)的橫坐標(biāo)相等，且為，

時(shí)， ， ，

在點(diǎn)處的切線斜率為，

由于兩切線平行，則，

即，則兩邊同乘以，得，

，

， ，

設(shè)，則， ①，

令， ，則，

， ， 在上單調(diào)遞增，

， ，這與①矛盾，假設(shè)不成立，

故在點(diǎn)處的切線與在點(diǎn)處的切線不平行.