Question

12．四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形，$∠DAB=\frac{π}{3}$，PD⊥底面ABCD，AB=PD=a，P、B、C、D，四點能否在一個球面上（不要證明）；
（1）求異面直線PA與CD成角的余弦值；
（2）求三棱錐ABCP的體積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)異面直線所成角的定義進行轉(zhuǎn)化，結(jié)合三角形的余弦定理進行求解即可．
（2）求出三棱錐的高和底面積，結(jié)合三棱錐的體積公式進行求解即可．

解答 解：（1）∵底面ABCD為菱形，$∠DAB=\frac{π}{3}$，PD⊥底面ABCD，AB=PD=a，
∴連接BD，則BD=a，
即PD=BD=CD=a，
即、B、C、D，四點可以在一個球面上，其中D為球心，PD的長為半徑．
∵PD⊥底面ABCD，AB=PD=a，
∴PA=$\sqrt{2}$a，PB=$\sqrt{2}$a，
∵AB∥CD，
∴PA與AB所成的角即可異面直線PA與CD成的角，
在三角形PAB中，cos∠PAB=$\frac{P{A}^{2}+A{B}^{2}-P{B}^{2}}{2PA•AB}$
=$\frac{2{a}^{2}+{a}^{2}-2{a}^{2}}{2×\sqrt{2}a•a}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，
即異面直線PA與CD成角的余弦值是$\frac{\sqrt{2}}{4}$．
（2）∵PD⊥底面ABCD，
∴三棱錐ABCP的高為PD=a，
∵底面ABCD為菱形，$∠DAB=\frac{π}{3}$，AB=a，
∴OB=$\frac{1}{2}$a，OA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，
則AC=2OA=$\sqrt{3}$a，
則三角形ABC的面積S=$\frac{1}{2}AC•OB$=$\frac{1}{2}•\sqrt{3}a•\frac{1}{2}a$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$a，
則三棱錐ABCP的體積V=$\frac{1}{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{4}$a×a=$\frac{\sqrt{3}}{12}$a²．

點評 本題主要考查異面直線所成角的求解以及三棱錐體積的計算，根據(jù)異面直線所成角的定義以及三棱錐的體積公式是解決本題的關(guān)鍵．