Question

4．已知等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，b_n=$\frac{1}{{S}_{n}}$，且a₂•b₂=$\frac{5}{8}$，S₅=$\frac{35}{2}$．
（1）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求證：b₁+b₂+…+b_n＜$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 （1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，由b_n=$\frac{1}{{S}_{n}}$，且a₂•b₂=$\frac{5}{8}$，S₅=$\frac{35}{2}$．可得b₂=$\frac{1}{2{a}_{1}+d}$，$（{a}_{1}+d）×\frac{1}{{2a}_{1}+d}$=$\frac{5}{8}$，5a₁+$\frac{5×4}{2}$d=$\frac{35}{2}$，解得a₁，d，即可得出．
（2）由（1）可得：b_n=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$．利用“裂項(xiàng)求和”方法、數(shù)列的單調(diào)性即可得出．

解答 （1）解：設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，∵b_n=$\frac{1}{{S}_{n}}$，且a₂•b₂=$\frac{5}{8}$，S₅=$\frac{35}{2}$．
∴b₂=$\frac{1}{2{a}_{1}+d}$，$（{a}_{1}+d）×\frac{1}{{2a}_{1}+d}$=$\frac{5}{8}$，5a₁+$\frac{5×4}{2}$d=$\frac{35}{2}$，
解得a₁=$\frac{3}{2}$，d=1．
∴a_n=$\frac{3}{2}+（n-1）$=$\frac{2n+1}{2}$．
S_n=$\frac{n（\frac{3}{2}+\frac{2n+1}{2}）}{2}$=$\frac{n（n+2）}{2}$．
b_n=$\frac{2}{n（n+2）}$．
（2）證明：由（1）可得：b_n=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$．
b₁+b₂+…+b_n=$（1-\frac{1}{3}）$+$（\frac{1}{2}-\frac{1}{4}）$+$（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$+…+$（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}）$+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$=1+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$$＜\frac{3}{2}$，
∴b₁+b₂+…+b_n$＜\frac{3}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式、“裂項(xiàng)求和”方法、數(shù)列的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．