Question

3．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C₁的方程為x²+y²=1，在以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)關(guān)軸為極軸的極坐標(biāo)系中，直線l的極坐標(biāo)方程為$ρ=\frac{8}{cosθ+2sinθ}$．
（1）將C₁上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)分別伸長到原來的2倍和$\sqrt{3}$倍后得到曲線C₂，求曲線C₂的參數(shù)方程；
（2）若P，Q分別為曲線C₂與直線l的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求|PQ|的最小值以及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）設(shè)曲線C₂上任取一點(diǎn)M（x，y），則點(diǎn)$M'（\frac{1}{2}x\;，\;\;\frac{1}{{\sqrt{3}}}y）$在曲線C₁上，代入整理得答案；
（2）化直線l的極坐標(biāo)方程為直角坐標(biāo)方程，設(shè)出P得坐標(biāo)，由點(diǎn)到直線距離公式求出P到直線l的距離，利用三角函數(shù)求得最值．

解答 解：（1）在曲線C₂上任取一點(diǎn)M，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為M（x，y），則點(diǎn)$M'（\frac{1}{2}x\;，\;\;\frac{1}{{\sqrt{3}}}y）$在曲線C₁上，
滿足${（\frac{1}{2}x）^2}+{（\frac{1}{{\sqrt{3}}}y）^2}=1$，
∴曲線C₂的直角坐標(biāo)方程為$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$，曲線C₂的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=2cosθ\\ y=\sqrt{3}sinθ\end{array}\right.$（θ為參數(shù)）；
（2）由$ρ=\frac{8}{cosθ+2sinθ}$，得ρcosθ+2ρsinθ-8=0．
∴直線l的直角坐標(biāo)方程為l：x+2y-8=0，
設(shè)點(diǎn)$P（2cosθ\;，\;\;\sqrt{3}sinθ）$，點(diǎn)P到直線l的距離為$d=\frac{{|2cosθ+2\sqrt{3}sinθ-8|}}{{\sqrt{5}}}=\frac{{|4sin（θ+\frac{π}{6}）-8|}}{{\sqrt{5}}}$，
當(dāng)$θ=\frac{π}{3}$，即點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為$（1\;，\;\;\frac{3}{2}）$時(shí)，d取得最小值$\frac{4}{5}\sqrt{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程，考查了參數(shù)方程與普通方程的互化，考查點(diǎn)到直線距離公式的應(yīng)用，是中檔題．