Question

6．已知a為實數(shù)，函數(shù)f（x）=x³-ax²-4x+4a滿足f′（1）=0．
（1）求a的值；
（2）求f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值；
（3）若方程f（x）=m只有一個實數(shù)根，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由原式得f（x）=x³-ax²-4x+4a，f'（x）=3x²-2ax-4．由f'（-1）=0得$a=\frac{1}{2}$，
（2）利用導(dǎo)數(shù)求出單調(diào)區(qū)間，再確定極值；
（3）方程f（x）=m只有一個實數(shù)根，即函數(shù)y=f（x）的圖象與y=m的圖象只有一個交點，利用（2）可得實數(shù)m的取值范圍

解答 解：（1）由原式得f（x）=x³-ax²-4x+4a，
∴f'（x）=3x²-2ax-4．由f'（-1）=0得$a=\frac{1}{2}$，
（2）$f（x）={x^3}-\frac{1}{2}{x^2}-4x+2，f'（x）=3{x^2}-x-4$．
由f'（x）═0得$x=\frac{4}{3}$或x=-1，

x	（-∞，-1）	-1	$（-1，\frac{4}{3}）$	$\frac{4}{3}$	$（\frac{4}{3}，+∞）$
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	遞增	極大	遞減	極小	遞增

∴$函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間（-∞，-1），（\frac{4}{3}，+∞）減區(qū)間（-1，\frac{4}{3}）$，$函數(shù)f（x）的極大值f（-1）=\frac{9}{2}，極小值f（\frac{4}{3}）=-\frac{50}{27}$；
（3）∵方程f（x）=m只有一個實數(shù)根
∴函數(shù)y=f（x）的圖象與y=m的圖象只有一個交點
故實數(shù)m的取值范圍為$m＜-\frac{50}{27}或m＞\frac{9}{2}$．

點評 本題考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查了函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．