12．已知a＞0，函數(shù)f（x）=ax-x2．求f（x）≤1，x∈[0，1]恒成立的充要條件．

分析 根據(jù)充要條件的定義，以及函數(shù)恒成立，即可求出a的范圍．

解答 解：因為f（x）=ax-x2，當(dāng)x=0時，f（x）=0≤1成立，
當(dāng)x∈（0，1]時，f（x）≤1恒成立
即a≤x+$\frac{1}{x}$在（0，1]上恒成立，
又（x+$\frac{1}{x}$）min=2，此時x=1，
所以0＜a≤2，
當(dāng)0＜a≤2時，a≤x+$\frac{1}{x}$在（0，1]上恒成立，所以f（x）≤1在（0，1]上恒成立，
所以f（x）≤1，x∈（0，1]上恒成立的充要條件為0＜a≤2．

點評 本題主要考查了函數(shù)恒成立問題，以及分離討論的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．

練習(xí)冊系列答案
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（Ⅱ）若正實數(shù)m，n滿足2m+n=1，函數(shù)$f（x）≤\frac{1}{m}+\frac{2}{n}$恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

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