Question

已知點(diǎn)在橢圓上，且該橢圓的離心率為．
（1）求橢圓Q的方程；
（2）若直線l與直線AB：y=-4的夾角的正切值為2，且橢圓Q上的動(dòng)點(diǎn)M到直線l的距離的最小值為，求直線l的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）依據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程形式、橢圓的性質(zhì)，利用待定系數(shù)法求方程．
（2）先確定直線的斜率，設(shè)出直線在y軸上的截距m，得到直線的方程，設(shè)出點(diǎn)M的坐標(biāo)（參數(shù)式），利用點(diǎn)到直線的距離的最小值，求出m的值，從而得到直線方程．
解答：解：（1）依題意得：．（2分）
解之得：a=2，c=1，．
∴橢圓Q方程為：．（4分）
（2）由已知可得，直線l的斜率為k=±2，（6分）
①若k=2，設(shè)l的方程是2x-y+m=0，
點(diǎn)M的坐標(biāo)為θ∈[0，2π）
則點(diǎn)M到直線l的距離為，（8分）
若m＞0，則，得m=9
若m＜0，則，得m=-9
所以所求直線l的方程是2x-y+9=0或2x-y-9=0．（12分）
②若k=-2，類似①可得所以所求直線l的方程是2x+y+9=0或2x+y-9=0．（14分）
綜上所述，l的方程為2x-y+9=0或2x-y-9=0或2x+y+9=0或2x+y-9=0．
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、點(diǎn)到直線的距離公式來解決最值問題，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想．