Question

1．若實數x，y滿足不等式組$\left\{\begin{array}{l}{x≥k}\\{x-2y+4≥0}\\{2x-y-4≤0}\end{array}\right.$，若z=2x+y的最小值為8，則y-x的取值范圍為[-1，$\frac{1}{2}$]．

Answer 1

分析 作出不等式組對應的平面區(qū)域，根據z的幾何意義，利用數形結合即可得到k的值．然后求解y-x的取值范圍即可．

解答 解：不等式組對應的平面區(qū)域如圖：
由z=2x+y得y=-2x+z，
平移直線y=-2x+z，則由圖象可知當直線y=-2x+z經過點A時，直線y=-2x+z的截距最小，
此時z最小，為2x+y=8
由$\left\{\begin{array}{l}{2x+y=8}\\{2x-y-4=0}\end{array}\right.$，解得A（3，2），
此時A在x=k上，
則k=3．
t=y-x經過可行域A，B時，分別取得最值，由：$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{x-2y+4=0}\end{array}\right.$，解得B（3，$\frac{7}{2}$）
可得y-x的取值范圍[2-3，$\frac{7}{2}-3$]，即[-1，$\frac{1}{2}$]
故答案為：[-1，$\frac{1}{2}$]．

點評 本題主要考查線性規(guī)劃的應用，根據z的幾何意義，利用數形結合是解決本題的關鍵．