Question

16．（1）在所給的平面直角坐標系內(nèi)，畫出函數(shù)f（x）=x²-2x（x∉R）的圖象，根據(jù)圖象寫出函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間并用定義證明；
（2）求函數(shù)f（x）=x²-2x，x∈[a，a+1]（其中a為實數(shù)）的最小值．

Answer 1

分析 （1）確定二次函數(shù)的圖象關(guān)鍵因素（開口方向、對稱軸、頂點坐標），由圖象可直接寫出單調(diào)區(qū)間；
（2）根據(jù)對稱軸與給定區(qū)間的位置關(guān)系分三種情況討論，得到函數(shù)的最小值．

解答 解：（1）圖象如圖：
減區(qū)間為：（-∞，1]；
證明：設(shè)x₁＜x₂≤1，
則f（x₁）-f（x₂）=x₁²-2x₁-（${{x}_{2}}^{2}$-2x₂）
=（x₁-x₂）（x₁+x₂）-2（x₁-x₂）
=（x₁-x₂）（x₁+x₂-2）
∵x₁＜x₂≤1，
∴x₁-x₂＜0，x₁+x₂-2＜0，
∴（x₁-x₂）（x₁+x₂-2）＞0，
∴f（x₁）＞f（x₂）．
∴函數(shù)f（x）單調(diào)減區(qū)間為（-∞，1]．
（2）①當(dāng)a+1≤1即a≤0時，[a，a+1]⊆（-∞，1]，則f（x）在[a，a+1]上是減函數(shù)，
∴當(dāng)x=a+1時，函數(shù)f（x）=x²-2x的最小值f（a+1）=a²-1．
同理，②當(dāng)0＜a≤1時，函數(shù)f（x）=x²-2x的最小值f（1）=-1．
③當(dāng)a＞1時，函數(shù)f（x）=x²-2x的最小值f（a）=a²-2a．

點評 本題考查二次函數(shù)的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，考查分類討論思想的應(yīng)用，數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，考查計算能力．