Question

20．已知函數(shù)f（x）=ln（1+x）-$\frac{ax}{x+1}$（a＞0）．
（1）若x=1是函數(shù)f（x）的一個(gè)極值點(diǎn)，求a的值；
（2）若f（x）≥0在[0，+∞）上恒成立，求a的取值范圍；
（3）證明：${（\frac{2017}{2016}）^{2017}}$＞e（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到關(guān)于a的方程，解出即可；
（2）問題轉(zhuǎn)化為f（x）_min≥0，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，通過討論a的范圍求出a的具體范圍即可；
（3）不等式兩邊取對(duì)數(shù)，得到ln（1+$\frac{1}{1+2016}$）-$\frac{1}{1+2016}$＞0，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性證明即可．

解答 解：（1）∵f（x）=ln（1+x）-$\frac{ax}{x+1}$（a＞0），
∴f′（x）=$\frac{x+1-a}{{（x+1）}^{2}}$，
∵x=1是函數(shù)f（x）的一個(gè)極值點(diǎn)，
f′（1）=0即a=2；
（2）∵f（x）≥0在[0，+∞）上恒成立，∴f（x）_min≥0，
當(dāng)0＜a≤1時(shí)，f′（x）≥0在[0，+∞）上恒成立，
即f（x）在[0，+∞）上為增函數(shù)，
∴f（x）_min=f（0）=0成立，即0＜a≤1，
當(dāng)a＞1時(shí)，令f′（x）≥0，則x＞a-1，
令f′（x）＜0，則0≤x＜a-1，
即f（x）在[0，a-1）上為減函數(shù)，在（a-1，+∞）上為增函數(shù)，
∴f（x）_min=f（a-1）≥0，又f（0）=0＞f（a-1），則矛盾．
綜上，a的取值范圍為（0，1]．
（3）兩邊取自然對(duì)數(shù)得，2017×ln$\frac{2017}{2016}$＞1?ln $\frac{2017}{2016}$＞$\frac{1}{2017}$，
?ln$\frac{2017}{2016}$-$\frac{1}{2017}$＞0?ln（1+$\frac{1}{2016}$）-$\frac{1}{1+2016}$＞0，
由（2）知a=1時(shí)，f（x）=ln（1+x）-$\frac{x}{x+1}$在[0，+∞）單調(diào)遞增，
又 $\frac{1}{1+2016}$＞0，f（0）=0，
∴f（ $\frac{1}{2016}$）=ln $\frac{1}{1+2016}$-$\frac{1}{1+2016}$＞f（0）=0，
故${（\frac{2017}{2016}）^{2017}}$＞e成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及不等式的證明，是一道綜合題．