Question

5．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1的上、下頂點分別為M，N點，P在橢圓C外，直線PM交橢圓于點A，若PN⊥NA，則點P的軌跡方程是（　　）

• A． y=x²+1（x≠0）
• B． y=x²+3（x≠0）
• C． y²-$\frac{{x}^{2}}{2}$=1（y＞0，x≠0）
• D． y=3（x≠0）

Answer 1

分析 根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算，求得xx₀+（y₀+1）（y+1）=0，根據(jù)直線斜率公式，由A在橢圓方程，代入即可求得P的軌跡方程．

解答 解：由題意可知設(shè)P（x，y），（x≠0），由橢圓方程橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1，A（x₀，y₀），M（0，1），N（0，-1），
由PN⊥NA，$\overrightarrow{NA}$•$\overrightarrow{NP}$=0，即（x₀，y₀+1）（x，y+1）=0，則xx₀+（y₀+1）（y+1）=0，①
由直線P，C，A三點共線，$\frac{y-1}{x}$=$\frac{{y}_{0}-1}{{x}_{0}}$，x=$\frac{{x}_{0}（y-1）}{{y}_{0}-1}$，②
代入將②代入①，x₀²（y-1）+（y₀²-1）（y+1）=0，
由A在橢圓上，則y₀²=1-$\frac{{x}_{0}^{2}}{2}$，
代入整理得：y=3（x≠0），
點P的軌跡方程y=3（x≠0），
故選：D．

點評 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及性質(zhì)，軌跡方程的求法，向量的坐標(biāo)運算，考查計算能力，屬于中檔題．