1.對(duì)于數(shù)列{an},{bn},Sn為數(shù)列{an}是前n項(xiàng)和,且Sn+1-(n+1)=Sn+an+n,a1+b1=2,bn+1=3bn+2,n∈N*
(1)求數(shù)列{an},{bn}的通項(xiàng)公式;
(2)令cn=$\frac{2({a}_{n}+n)}{n(_{n}+1)}$,求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn

分析 (1)Sn+1-(n+1)=Sn+an+n,可得:an+1-an=2n+1.利用累加求和方法可得:an.由a1+b1=2,可得b1=1.由bn+1=3bn+2,n∈N*.變形為:bn+1+1=3(bn+1).利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出.
(2)由(1)可得:cn=$\frac{2({a}_{n}+n)}{n(_{n}+1)}$=$\frac{n+1}{{3}^{n-1}}$.利用錯(cuò)位相減法即可得出.

解答 解:(1)∵Sn+1-(n+1)=Sn+an+n,
∴an+1-an=2n+1.
∴an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1
=(2n-1)+(2n-3)+…+3+1
=$\frac{n(1+2n-1)}{2}$=n2
由a1+b1=2,∴b1=1.
∵bn+1=3bn+2,n∈N*
∴bn+1+1=3(bn+1).
∴數(shù)列{bn+1}是等比數(shù)列,公比為3,首項(xiàng)為2.
∴bn+1=2×3n-1,解得bn=2×3n-1-1..
(2)由(1)可得:cn=$\frac{2({a}_{n}+n)}{n(_{n}+1)}$=$\frac{n+1}{{3}^{n-1}}$.
∴Tn=2+$\frac{3}{3}+\frac{4}{{3}^{2}}$+…+$\frac{n+1}{{3}^{n-1}}$,
$\frac{1}{3}{T}_{n}$=$\frac{2}{3}$+$\frac{3}{{3}^{2}}$+…+$\frac{n}{{3}^{n-1}}$+$\frac{n+1}{{3}^{n}}$,
相減可得:$\frac{2}{3}{T}_{n}$=2+$\frac{1}{3}+\frac{1}{{3}^{2}}$+…+$\frac{1}{{3}^{n-1}}$-$\frac{n+1}{{3}^{n}}$=1+$\frac{1-\frac{1}{{3}^{n}}}{1-\frac{1}{3}}$-$\frac{n+1}{{3}^{n}}$,
∴Tn=$\frac{15}{4}$-$\frac{2n+5}{4×{3}^{n-1}}$.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式、錯(cuò)位相減法、數(shù)列遞推關(guān)系、累加求和方法,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.

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