Question

16．設(shè)F是雙曲線$C：\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞0，b＞0）的左焦點(diǎn)，M在雙曲線的右支上，且MF的中點(diǎn)恰為該雙曲線的虛軸的一個(gè)端點(diǎn)，則C的漸近線方程為（　　）

• A． $y=±\frac{1}{2}x$
• B． y=±2x
• C． $y=±\frac{{\sqrt{5}}}{5}x$
• D． $y=±\sqrt{5}x$

Answer 1

分析 設(shè)F（-c，0），M（m，n），（m＞0），設(shè)MF的中點(diǎn)為（0，b），即有m=c，n=2b，將中點(diǎn)M的坐標(biāo)代入雙曲線方程，求出a與b的關(guān)系，即可求出雙曲線C的漸近線方程．

解答 解：設(shè)F（-c，0），M（m，n），（m＞0），
設(shè)MF的中點(diǎn)為（0，b），
即有m=c，n=2b，
將點(diǎn)（c，2b）代入雙曲線方程可得，
$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{4^{2}}{^{2}}$=1，
∴c²=5a²，
又c²=a²+b²，
即有4a²=b²，
∴$\frac{a}$=2，
∴雙曲線C的漸近線方程為y=±2x，
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，主要考查雙曲線的漸近線方程的求法，同時(shí)考查中點(diǎn)坐標(biāo)公式的運(yùn)用，屬于中檔題．