Question

11．已知橢圓C：4x²+y²=4m²（m＞0），過原點的直線與橢圓C交于A，B兩點，點P是橢圓上的任意一點且直線PA，PB與坐標軸不平行．
（1）證明：直線PA的斜率與直線PB斜率之積為定值；
（2）若A，B不是橢圓C的頂點，且PA⊥AB，直線BP與x軸，y軸分別交于E，F兩點．
（i）證明：直線BP的斜率與直線AF斜率之比為定值；
（ii）記△OEF的面積為S_△OEF，求$\frac{{{S_{△OEF}}}}{m^2}$的最大值．

Answer 1

分析 （1）設A（x₁，y₁），P（x₂，y₂），則B（-x₁，-y₁），把A，P坐標代入橢圓方程，寫出PA，PB的斜率，化簡整理可得直線PA的斜率與直線PB斜率之積為定值；
（2）（i）由（1）得${k_{AB}}=\frac{y_1}{x_1}$，再由PA⊥AB，求得PA的斜率，進一步得到PB的斜率，寫出PB所在直線方程，求得E，F的坐標，即可得到直線BP的斜率與直線AF斜率之比為定值；
（ii）由三角形面積公式寫出△OEF的面積，由基本不等式可得其最大值，除以m²得答案．

解答 （1）證明：設A（x₁，y₁），P（x₂，y₂），則B（-x₁，-y₁），
∴$4{{x}_{1}}^{2}+{{y}_{1}}^{2}=4{m}^{2}$，$4{{x}_{2}}^{2}+{{y}_{2}}^{2}=4{m}^{2}$，
∴${k}_{PA}•{k}_{PB}=\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}•\frac{{y}_{2}+{y}_{1}}{{x}_{2}+{x}_{1}}=\frac{{{y}_{2}}^{2}-{{y}_{1}}^{2}}{{{x}_{2}}^{2}-{{x}_{1}}^{2}}$=$\frac{（4{m}^{2}-4{{x}_{2}}^{2}）-（4{m}^{2}-4{{x}_{1}}^{2}）}{{{x}_{2}}^{2}-{{x}_{1}}^{2}}$=-4；
（2）證明：（i）由（1）得${k_{AB}}=\frac{y_1}{x_1}$，
又∵PA⊥AB，∴k_AB•k_PA=-1，得${k_{PA}}=-\frac{x_1}{y_1}$，
∵k_PA•k_PB=-4，∴${k_{PB}}=\frac{{4{y_1}}}{x_1}$．
∴直線BP：$y=\frac{{4{y_1}}}{x_1}（x+{x_1}）-{y_1}$，則$E（{-\frac{3}{4}{x_1}，\;\;0}）$，F（0，3y₁），
則${k_{AF}}=\frac{{{y_1}-3{y_1}}}{{{x_1}-0}}=-2\frac{y_1}{x_1}$，
∴$\frac{{k}_{PB}}{{k}_{AF}}=\frac{4{y}_{1}}{{x}_{1}}•\frac{-2{y}_{1}}{{x}_{1}}=-2$．
（ii）解：∵${S_{△OEF}}=\frac{1}{2}|{（{-\frac{3}{4}{x_1}}）•3{y_1}}|=\frac{9}{8}|{x_1}•{y_1}|=\frac{9}{16}|2{x_1}•{y_1}|≤\frac{9}{16}•\frac{4x_1^2+y_1^2}{2}=\frac{9}{8}{m^2}$，
∴$\frac{{{S_{△OEF}}}}{m^2}≤\frac{9}{8}$，
當且僅當$x_1^2=\frac{m^2}{2}，\;\;y_1^2=2{m^2}$時取到最大值．
即$\frac{{{S_{△OEF}}}}{m^2}$的最大值為$\frac{9}{8}$．

點評 本題考查橢圓的簡單性質，考查直線與橢圓位置關系的應用，訓練了利用基本不等式求最值，是中檔題．