Question

17．△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，依次成等比數(shù)列，則$\frac{1+sin2B}{sinB+cosB}$的取值范圍（1，$\sqrt{2}$]．

Answer 1

分析 由a、b及c依次成等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)得到b²=ac，然后根據(jù)余弦定理表示出cosB，把b²=ac代入后化簡(jiǎn)，利用基本不等式即可求出cosB大于等于$\frac{1}{2}$，由B為三角形的內(nèi)角，利用特殊角的三角函數(shù)值得到B的范圍，把所求的式子的分子中的“1”變?yōu)閟in²B+cos²B，sin2B利用二倍角的正弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，分子剛好為一個(gè)完全平方式，與分母約分后得到sinB+cosB，然后提取$\sqrt{2}$，利用兩角和的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化為一個(gè)角（B+$\frac{π}{4}$）的正弦函數(shù)，根據(jù)B的范圍，求出B+$\frac{π}{4}$的范圍，根據(jù)正弦函數(shù)的值域及圖象，得到sin（B+$\frac{π}{4}$）的范圍，進(jìn)而得到$\frac{1+sin2B}{sinB+cosB}$的取值范圍．

解答 解：∵a、b、c，依次成等比數(shù)列，可得：b²=ac，
∴cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}$=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-ac}{2ac}$≥$\frac{2ac-ac}{2ac}$=$\frac{1}{2}$，
∴0$＜B≤\frac{π}{3}$，
∴$\frac{1+sin2B}{sinB+cosB}$=$\frac{（sinB+cosB）^{2}}{sinB+cosB}$=sinB+cosB=$\sqrt{2}$sin（B+$\frac{π}{4}$），
∵$\frac{π}{4}$＜B+$\frac{π}{4}$≤$\frac{7π}{12}$，
∴$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜$\sqrt{2}$sin（B+$\frac{π}{4}$）≤1，可得$\frac{1+sin2B}{sinB+cosB}$=$\sqrt{2}$sin（B+$\frac{π}{4}$）∈（1，$\sqrt{2}$]．
故答案為：（1，$\sqrt{2}$]．

點(diǎn)評(píng) 此題考查學(xué)生掌握等比數(shù)列的性質(zhì)及正弦函數(shù)的值域，靈活運(yùn)用余弦定理及同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系化簡(jiǎn)求值，靈活運(yùn)用兩角和的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化簡(jiǎn)求值，是一道中檔題．