Question

4．如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，點E，F(xiàn)分別為BB₁，B₁C₁的中點．
（Ⅰ）求證：直線EF∥面ACD₁；
（Ⅱ）求二面角D₁-AC-D的平面角的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連結(jié)BC₁，則EF∥BC₁，從而EF∥AD₁，由此能證明直線EF∥面ACD₁．
（Ⅱ）連結(jié)BD，交AC于點O，連結(jié)OD₁，則OD⊥AC，OD⊥AC，∠DOD₁是二面角D₁-AC-D的平面角，由此能求出二面角D₁-AC-D的平面角的余弦值．

解答 證明：（Ⅰ）連結(jié)BC₁，則EF∥BC₁，
∵BC₁∥AD₁，∴EF∥AD₁，
∵EF?面ACD₁，AD₁?面ACD₁，
∴直線EF∥面ACD₁．
解：（Ⅱ）連結(jié)BD，交AC于點O，連結(jié)OD₁，
則OD⊥AC，OD⊥AC，
∴∠DOD₁是二面角D₁-AC-D的平面角，
設(shè)正方體棱長為2，
在Rt△D₁DO中，OD=$\sqrt{2}$，OD₁=$\sqrt{6}$，
∴cos∠DOD₁=$\frac{OD}{O{D}_{1}}$=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴二面角D₁-AC-D的平面角的余弦值為$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查線面垂直的判定與性質(zhì)，考查利用二面角的余弦值的求法；考查邏輯推理與空間想象能力，運算求解能力；考查數(shù)形結(jié)合、化歸轉(zhuǎn)化思想．