Question

12．如圖，在邊長是2的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F(xiàn)分別為AB，A₁C的中點．
（Ⅰ）證明：EF∥平面ADD₁A₁；
（Ⅱ）求二面角A₁-EC-D大小的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）以D為原點，以DA，DC，DD₁所在的直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，利用向量法能證明EF∥平面ADD₁A₁．
（Ⅱ）求出平面A₁EC的法向量和平面ECD的法向量，利用向量法能求出二面角A₁-EC-D大小的余弦值．

解答 （本題滿分12分）
證明：（Ⅰ）以D為原點，以DA，DC，DD₁所在的直線分別為x，y，z軸，
建立空間直角坐標系，如圖所示，
則E（2，1，0），A₁（2，0，2），C（0，2，0），F(xiàn)（1，1，1）…（2分）
所以$\overrightarrow{EF}=（-1，0，1）$，平面ADD₁A₁的法向量$\overrightarrow{DC}=（0，2，0）$，
因為$\overrightarrow{EF}•\overrightarrow{DC}=-1×0+0×2+1×0=0$…（4分）
所以$\overrightarrow{EF}$∥平面ADD₁A₁
因為EF?平面ADD₁A₁
所以EF∥平面ADD₁A₁．…（6分）
解：（Ⅱ）$\overrightarrow{{A_1}E}=（0，1，-2）$，$\overrightarrow{EC}=（-2，1，0）$
設平面A₁EC的法向量為$\overrightarrow n=（x，y，z）$
由$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow n•\overrightarrow{{A_1}E}=0\\ \overrightarrow n•\overrightarrow{EC}=0\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}y-2z=0\\-2x+y=0\end{array}\right.$
令x=1，得y=2，z=1，于是$\overrightarrow n=（1，2，1）$…（8分）
因為平面ECD的法向量為$\overrightarrow{D{D_1}}=（0，0，2）$，
∴$cos＜\overrightarrow n，\overrightarrow{D{D_1}}＞=\frac{{\overrightarrow n•\overrightarrow{D{D_1}}}}{{|{\overrightarrow n}||{\overrightarrow{D{D_1}}}|}}=\frac{2}{{\sqrt{6}×2}}=\frac{{\sqrt{6}}}{6}$…（10分）
由圖知二面角A₁-EC-D大小為銳角，
所以二面角A₁-EC-D大小的余弦值為$\frac{{\sqrt{6}}}{6}$．…（12分）

點評 本題考查線面平行的證明，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．