Question

9．如圖，四棱錐P-ABCD中，O為AD的中點，AD∥BC，CD⊥平面PAD，PA=PD=5．
（Ⅰ）求證：PO⊥平面ABCD；
（Ⅱ）若AD=8，BC=4，CD=3，求平面PAB與平面PCD所成的銳二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推導出PO⊥AD，CD⊥PO，由此能證明PO⊥平面ABCD．
（Ⅱ）連接OB，以O(shè)為坐標原點，OB，OD，OP分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，利用向量法能求出平面PAB與平面PCD所成的銳二面角的余弦值．

解答 證明：（Ⅰ）△PAD中，∵PA=PD，且O為AD的中點，∴PO⊥AD，（1分）
∵CD⊥平面PAD，OP?平面PAD，∴CD⊥PO，（2分）
∵AD?平面ABCD，CD?平面ABCD，AD∩CD=D，（3分）
∴PO⊥平面ABCD．（4分）
解：（Ⅱ）∵CD⊥平面PAD，AD?平面PAD，∴CD⊥AD，
連接OB，∵BC∥OD且BC=OD=4，
∴OB∥AD，∴OB⊥AD；（5分）
以O(shè)為坐標原點，OB，OD，OP分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，
則A（0，-4，0），B（3，0，0），C（3，4，0），D（0，4，0），P（0，0，3），（6分）
$\overrightarrow{AB}$=（3，4，0），$\overrightarrow{AP}$=（0，4，3），$\overrightarrow{CD}$=（3，0，0），$\overrightarrow{DP}$=（0，-4，3），
設(shè)平面PCD的法向量為$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{CD}=3x=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DP}=-4y+3z=0}\end{array}\right.$，令y=3，得$\overrightarrow{m}$=（0，3，4），（8分）
設(shè)平面ABP的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AB}=3x+4y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AP}=4y+3z=0}\end{array}\right.$，令x=4，則$\overrightarrow{n}$=（4，-3，4），（10分）
設(shè)平面PAB與平面PCD所成的銳二面角為α，
則cosα=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{7}{5\sqrt{41}}$=$\frac{7\sqrt{41}}{205}$，（11分）
∴平面PAB與平面PCD所成的銳二面角的余弦值為$\frac{7\sqrt{41}}{205}$．（12分）

點評 本題考查線面垂直的判定與性質(zhì)，考查利用空間向量求二面角的大��；考查邏輯推理與空間想象能力，運算求解能力；考查數(shù)形結(jié)合、化歸轉(zhuǎn)化思想．