【題目】若存在實(shí)數(shù)k,b,使得函數(shù)對(duì)其定義域上的任意實(shí)數(shù)x同時(shí)滿(mǎn)足:,則稱(chēng)直線(xiàn):為函數(shù)的“隔離直線(xiàn)”.已知,(其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).試問(wèn):

1)函數(shù)的圖象是否存在公共點(diǎn),若存在,求出交點(diǎn)坐標(biāo),若不存在,說(shuō)明理由;

2)函數(shù)是否存在“隔離直線(xiàn)”?若存在,求出此“隔離直線(xiàn)”的方程;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】1)存在,交點(diǎn)坐標(biāo)為;(2)存在,

【解析】

1)構(gòu)造函數(shù),求導(dǎo)得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,得到函數(shù)在處取得最小值為0,得到答案.

2)設(shè)直線(xiàn),根據(jù)得到,再證明恒成立,令,求導(dǎo)得到單調(diào)區(qū)間,計(jì)算最值得到證明.

1)∵,

,令,得

當(dāng)時(shí),時(shí),,

故當(dāng)時(shí),取到最小值,最小值是0,

從而函數(shù)的圖象在處有公共點(diǎn),交點(diǎn)坐標(biāo)為.

2)由(1)可知,函數(shù)的圖象在處有公共點(diǎn),

因此存在的隔離直線(xiàn),那么該直線(xiàn)過(guò)這個(gè)公共點(diǎn),

設(shè)隔離直線(xiàn)的斜率為k,則隔離直線(xiàn)方程為

,

,可得上恒成立,

,只有,

此時(shí)直線(xiàn)方程為:,下面證明恒成立,

,

,當(dāng)時(shí),,

當(dāng)時(shí),函數(shù)單調(diào)遞減;時(shí),,函數(shù)單調(diào)遞增,

則當(dāng)時(shí),取到最小值是0,

所以,則當(dāng)時(shí)恒成立.

∴函數(shù)存在唯一的隔離直線(xiàn).

練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知函數(shù)

1)判斷函數(shù)在區(qū)間上零點(diǎn)的個(gè)數(shù),并說(shuō)明理由.

2)當(dāng)時(shí),

①比較的大小關(guān)系,并說(shuō)明理由;

②證明:

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)求橢圓的方程;

)用分別表示的面積,求的最大值.

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A.丙酉年B.戊申年C.己申年D.己亥年

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【題目】某次知識(shí)競(jìng)賽規(guī)則如下:在主辦方預(yù)設(shè)的7個(gè)問(wèn)題中,選手若能連續(xù)正確回答出兩個(gè)問(wèn)題,即停止答題,晉級(jí)下一輪.假設(shè)某選手正確回答每個(gè)問(wèn)題的概率都是0.7,且每個(gè)問(wèn)題的回答結(jié)果相互獨(dú)立,則該選手恰好回答了5個(gè)問(wèn)題就晉級(jí)下一輪的概率等于(

A.0.07497B.0.92503C.0.1323D.0.6174

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【題目】如圖,在四棱錐PABCD中,PAD為等邊三角形,ABADCD2,∠BAD=∠ADC90°,∠PDC60°EBC的中點(diǎn).

1)證明:ADPE.

2)求直線(xiàn)PA與平面PDE所成角的大小.

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A.①④B.①②C.①②④D.②③④

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【題目】如圖,點(diǎn)是正方體中的側(cè)面上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),則下列結(jié)論正確的是(

A.點(diǎn)存在無(wú)數(shù)個(gè)位置滿(mǎn)足

B.若正方體的棱長(zhǎng)為1,三棱錐的體積最大值為

C.在線(xiàn)段上存在點(diǎn),使異面直線(xiàn)所成的角是

D.點(diǎn)存在無(wú)數(shù)個(gè)位置滿(mǎn)足到直線(xiàn)和直線(xiàn)的距離相等.

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(Ⅰ)求函數(shù)的極值;

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