Question

9．定義在R上的偶函數(shù)y=f（x），對任意的x∈R，都有f（x+6）=f（x）+f（3），且函數(shù)f（x）在[0，3]上為減函數(shù)，則下列結(jié)論中錯誤的是（　　）

• A． f（x）≥0
• B． f（1）＞f（14）
• C． y=f（x）的解析式可能為y=2cos²$\frac{π}{6}$x
• D． 若x²+y²=9與y=f（x）有且僅有三個交點，則在[0，3]上將y=f（x）的圖象沿y軸旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體的體積為9π

Answer 1

分析 根據(jù)抽象函數(shù)關(guān)系結(jié)合函數(shù)奇偶性的性質(zhì)求出f（3）=0，從而得到函數(shù)的周期是6，結(jié)合三角函數(shù)的周期性分別進(jìn)行判斷即可．

解答 解：∵f（x+6）=f（x）+f（3），
∴f（-3+6）=f（-3）+f（3），
∴f（-3）=0，函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，
∴f（3）=0．
∴f（x+6）=f（x）+0=f（x），
∴f（x）是以6為周期的函數(shù)，
∵函數(shù)f（x）在[0，3]上為減函數(shù)，∴函數(shù)f（x）在[-3，0]上為增函數(shù)，
∵f（3）=0．∴當(dāng)0≤x≤3時，f（x）≥0，
綜上恒有f（x）≥0，故A正確，
B．f（14）=f（12+2）=f（2），
∵函數(shù)f（x）在[0，3]上為減函數(shù)，∴f（1）＞f（2），
即f（1）＞f（14），故B正確，
C．f（x）=2cos²$\frac{πx}{6}$=1+cos$\frac{πx}{3}$，則函數(shù)的周期是T=$\frac{2π}{\frac{1}{3}π}$=6，
f（3）=1+cosπ=1-1=0，當(dāng)0≤x≤3時，0≤$\frac{πx}{3}$≤π，函數(shù)f（x）為減函數(shù)，滿足條件．故C正確，
D．若x²+y²=9與y=f（x）有且僅有三個交點，則f（0）=3，
且f（x）在圓的內(nèi)部，在[0，3]上將y=f（x）的圖象沿y軸旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體不確定，無法求出對應(yīng)的條件，故D錯誤，
故選：D

點評 本題主要考查命題的真假判斷，涉及抽象函數(shù)的應(yīng)用，利用賦值法判斷函數(shù)的周期性是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．