Question

4．將邊長為1正方形ABCD沿對角線BD折成直二面角A-BD-C，有如下四個結(jié)論：
（1）AC⊥BD；
（2）△ACD是等腰直角三角形；
（3）四面體A-BCD的表面積為1+$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
（4）直線AC與平面BCD所成角為60°．
則正確結(jié)論的序號為（1）（3）．

Answer 1

分析 作出此直二面角的圖形，由圖形中所給的位置關(guān)系，對題目中的命題進行判斷，即可得出正確的結(jié)論

解答 解：根據(jù)題意，畫出圖形，如圖所示：
二面角A-BD-C為90°，E是BD的中點，可以得出∠AEC=90°，為直二面角的平面角；
對于（1），由于BD⊥面AEC，得出AC⊥BD，故命題（1）正確；
對于（2），在等腰直角三角形AEC中，可以求出AC=$\sqrt{2}$AE=AD=CD，
所以△ACD是等邊三角形，故命題（2）錯誤；
對于（3），四面體ABCD的表面積為
S=2S_△ACD+2S_△ABD=2×$\frac{1}{2}$×1²×sin60°+2×$\frac{1}{2}$×1×1=1+$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
故命題（3）正確；
對于（4），AC與平面BCD所成的線面角是∠ACE=45°，故（4）錯誤．
故答案為：（1）（3）．

點評 本題考查了與二面角有關(guān)的線線之間、線面之間角的求法問題，是中檔題，解題時要注意空間思維能力的培養(yǎng)．