Question

【題目】已知數(shù)列中，，且對(duì)任意正整數(shù)都成立，數(shù)列的前項(xiàng)和為.

（1）若，且，求；

（2）是否存在實(shí)數(shù)k，使數(shù)列是公比不為1的等比數(shù)列，且任意相鄰三項(xiàng)按某順序排列后成等差數(shù)列，若存在，求出所有k的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（3）若，求.

Answer 1

【答案】(1) ；(2) 滿足要求的實(shí)數(shù)有且僅有一個(gè)，；(3) ．

【解析】

（1）先根據(jù)等差中項(xiàng)判定數(shù)列類型，再求解的值；（2）假設(shè)存在滿足后，先計(jì)算通項(xiàng)公式，再考慮相鄰三項(xiàng)排列后成等差數(shù)然后計(jì)算的值，注意分類；（3）先化簡(jiǎn)遞推公式，根據(jù)遞推公式進(jìn)行奇偶分項(xiàng)討論.

(1)時(shí)，，，

所以數(shù)列是等差數(shù)列，

此時(shí)首項(xiàng)，公差，

數(shù)列的前項(xiàng)和是，

故，得；

(2)設(shè)數(shù)列是等比數(shù)列，則它的公比，

所以，，，

①若為等差中項(xiàng)，則，即，

解得，不合題意；

②若為等差中項(xiàng)，則，即，

化簡(jiǎn)得：，

解得,（舍去）；；

③若為等差中項(xiàng)，則，即，

化簡(jiǎn)得：，解得；；

綜上可得，滿足要求的實(shí)數(shù)有且僅有一個(gè)，；

(3)則，

，，

當(dāng)是偶數(shù)時(shí)，

，

當(dāng)是奇數(shù)時(shí)，

，也適合上式，

綜上可得，．