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【題目】如圖，直三棱柱中，且，是棱上的動點，是的中點.

（1）當是中點時，求證：平面；

（2）在棱上是否存在點，使得平面與平面所成銳二面角為，若存在，求的長，若不存在，請說明理由.

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】【試題分析】（1）取中點，連結，利用三角形中位線證得四邊形為平行四邊形，由此證得線面平行.（2）假設存在這樣的點，以點為原點建立空間直角坐標系，利用平面和平面的法向量，結合它們所成銳二面角的余弦值，可求得這個點的坐標.

【試題解析】

（1）取中點，連結，則∥且.

因為當為中點時，∥且，

所以∥且 .

所以四邊形為平行四邊形，∥，

又因為，，

所以平面；

（2）假設存在滿足條件的點，設.

以為原點，向量方向為軸、軸、軸正方向，建立空間直角坐標系.

則，，，平面的法向量，

平面的法向量，，

解得，所以存在滿足條件的點，此時.

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（2）當最大時，求的面積．

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