分析 (I)由an+1=4an-3n+1,變形an+1-(n+1)=4(an-n),a1-1=1.即可證明.
(II)由(I)可得:an-n=4n-1,解得an=n+4n-1,利用等差數列與等比數列的求和公式可得:Sn,Sn+1.作差4Sn-Sn+1即可得出.
解答 證明:(I)∵an+1=4an-3n+1,∴an+1-(n+1)=4(an-n),a1-1=1.
∴數列{an-n}是等比數列,首項為1,公比為4.
(II)由(I)可得:an-n=4n-1,解得an=n+4n-1,
Sn=$\frac{n(n+1)}{2}$+$\frac{{4}^{n}-1}{4-1}$=$\frac{n(n+1)}{2}$+$\frac{1}{3}({4}^{n}-1)$.
Sn+1=$\frac{(n+1)(n+2)}{2}$+$\frac{1}{3}({4}^{n+1}-1)$.
∴4Sn-Sn+1=4×$\frac{n(n+1)}{2}$+4×$\frac{1}{3}({4}^{n}-1)$-$\frac{(n+1)(n+2)}{2}$-$\frac{1}{3}({4}^{n+1}-1)$=$\frac{(n+1)(3n-2)}{2}$-1=$\frac{3{n}^{2}+n-4}{2}$≥0.
∴Sn+1≤4Sn,對任意n∈N*成立.
點評 本題考查了等差數列與等比數列的通項公式求和公式及其性質、數列遞推關系,考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.
科目:高中數學 來源: 題型:解答題
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科目:高中數學 來源: 題型:選擇題
A. | m⊥n,m∥α⇒n⊥α | B. | m⊥n,m⊥α⇒n∥α | C. | m∥n,m∥α⇒n∥α | D. | m∥n,m⊥α⇒n⊥α |
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科目:高中數學 來源: 題型:選擇題
A. | 16$\sqrt{2}$ | B. | 32$\sqrt{2}$ | C. | 32 | D. | 64 |
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科目:高中數學 來源: 題型:選擇題
A. | $\frac{14}{5}$ | B. | $\frac{7}{5}$ | C. | $\frac{63}{20}$ | D. | $\frac{33}{20}$ |
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科目:高中數學 來源: 題型:填空題
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