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16.在數列{an}中,a1=2,an+1=4an-3n+1,n∈N*
(Ⅰ)證明:數列{an-n}是等比數列
(Ⅱ)記數列{an}的前n項和為Sn,求證:Sn+1≤4Sn,對任意n∈N*成立.

分析 (I)由an+1=4an-3n+1,變形an+1-(n+1)=4(an-n),a1-1=1.即可證明.
(II)由(I)可得:an-n=4n-1,解得an=n+4n-1,利用等差數列與等比數列的求和公式可得:Sn,Sn+1.作差4Sn-Sn+1即可得出.

解答 證明:(I)∵an+1=4an-3n+1,∴an+1-(n+1)=4(an-n),a1-1=1.
∴數列{an-n}是等比數列,首項為1,公比為4.
(II)由(I)可得:an-n=4n-1,解得an=n+4n-1,
Sn=$\frac{n(n+1)}{2}$+$\frac{{4}^{n}-1}{4-1}$=$\frac{n(n+1)}{2}$+$\frac{1}{3}({4}^{n}-1)$.
Sn+1=$\frac{(n+1)(n+2)}{2}$+$\frac{1}{3}({4}^{n+1}-1)$.
∴4Sn-Sn+1=4×$\frac{n(n+1)}{2}$+4×$\frac{1}{3}({4}^{n}-1)$-$\frac{(n+1)(n+2)}{2}$-$\frac{1}{3}({4}^{n+1}-1)$=$\frac{(n+1)(3n-2)}{2}$-1=$\frac{3{n}^{2}+n-4}{2}$≥0.
∴Sn+1≤4Sn,對任意n∈N*成立.

點評 本題考查了等差數列與等比數列的通項公式求和公式及其性質、數列遞推關系,考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.

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