Question

【題目】已知函數(shù)，，．

（1）求函數(shù)的極值；

（2）直線為函數(shù)圖象的一條切線，若對(duì)任意的，都有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)時(shí)沒(méi)有極值；當(dāng)時(shí)，有極大值，極大值為；（2）.

【解析】

（1）求導(dǎo)，對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類(lèi)討論，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，即可判斷函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性求極值；

（2）設(shè)出切點(diǎn)為，利用導(dǎo)數(shù)幾何意義求得與之間的關(guān)系，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在對(duì)應(yīng)區(qū)間滿足，即可求得參數(shù)范圍.

解：（1）∵，

∴函數(shù)的定義域?yàn)?/span>．

∵，

∴．

①當(dāng)時(shí)，，在上為增函數(shù)，無(wú)極值；

②當(dāng)時(shí)，由，得．

∵時(shí)，，為增函數(shù)，

時(shí)，，為減函數(shù)，

∴在定義域上有極大值，極大值為．

（2）設(shè)直線與函數(shù)圖象相切的切點(diǎn)為，則．

∵，∴．∴．∴．

又∵，

∴．∴．∴．

∴．

∵對(duì)任意的，都有成立，

∴只需

∵，

∴由，得．

∵，∴．

∴時(shí)，，為減函數(shù)，

時(shí)，，為增函數(shù)．

∴，即．

∵在上為減函數(shù)，

∴．

∴．

即．

設(shè)，易知在上為增函數(shù)．

又∵，

∴實(shí)數(shù)的取值范圍為．