Question

19．已知兩定點(diǎn)A（-2，0）和B（2，0），動(dòng)點(diǎn)P（x，y）在直線l：y=x+4上移動(dòng)，橢圓C以A，B為焦點(diǎn)且經(jīng)過點(diǎn)P，則橢圓C的離心率的最大值為（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{10}}{10}$
• B． $\frac{\sqrt{10}}{5}$
• C． $\frac{\sqrt{5}}{5}$
• D． $\frac{2\sqrt{5}}{5}$

Answer 1

分析 由題意知，要使橢圓C的離心率取最大值，則a取最小值．即|PA|+|PB|取最小值．利用點(diǎn)的對(duì)稱性求出|PA|+|PB|的最小值即可解答本題．

解答 解：由題意得，
2c=|AB|=4．
∴c=2．
2a=|PA|+|PB|．
當(dāng)a取最小值時(shí)，橢圓C的離心率有最大值．
設(shè)點(diǎn)A（-2，0）關(guān)于直線l：y=x+4的對(duì)稱點(diǎn)為A′（x，y）．
則$\left\{\begin{array}{l}{\frac{y}{x+2}=-1}\\{\frac{y}{2}=\frac{x-2}{2}+4}\end{array}\right.$．
解得，$\left\{\begin{array}{l}{x=-4}\\{y=2}\end{array}\right.$．
∴A′（-4，2）．
則|PA|+|PB|=|PA′|+|PB|≥|A′B|．
∴2a≥|A′B|=$\sqrt{40}$=2$\sqrt{10}$．
∴當(dāng)a=$\sqrt{10}$時(shí)，橢圓有最大離心率．
此時(shí)，$\frac{c}{a}$=$\frac{2}{\sqrt{10}}$$\frac{\sqrt{10}}{5}$．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的基本性質(zhì)，動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)距離的最值等知識(shí)，屬于中檔題．