Question

17．如圖，邊長為5的正方形ABCD與矩形ABEF所在平面互相垂直，M，N分別為AE，BC的中點(diǎn)，AF=4．
（1）求證：DA⊥平面ABEF；
（2）求證：MN∥平面CDEF；
（3）在線段FE上是否存在一點(diǎn)P，使得AP⊥MN？若存在，求出FP的長；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）證明DA⊥AB，利用平面與平面垂直的判定定理證明DA⊥平面ABEF．
（2）連接FB、FC，證明MN∥CF，然后證明MN∥平面CDFE．
（3）過點(diǎn)A作AG⊥FB交線段FE于點(diǎn)P，則點(diǎn)P即為所求．說明△AFP∽△BAF，轉(zhuǎn)化求解FP即可．

解答 證明：（1）∵ABCD是正方形，∴DA⊥AB，又平面ABCD⊥平面ABEF，
且平面ABCD∩平面ABEF=AB，
∴DA⊥平面ABEF．…（4分）
（2）連接FB、FC．∵ABEF是矩形，∴M是AE的中點(diǎn)，

∴M是BF的中點(diǎn)，又N是BC的中點(diǎn)，∴MN∥CF，而MN?平面CDFE，CF?平面CDFE，
∴MN∥平面CDFE．…（8分） 
（3）過點(diǎn)A作AG⊥FB交線段FE于點(diǎn)P，則點(diǎn)P即為所求．
∵CB⊥平面ABEF，∴CB⊥AB，又∵AP⊥FB，
∴AP⊥平面BMN，∴AP⊥MN；∵△AFP∽△BAF，
∴$\frac{FP}{AF}=\frac{AF}{AB}=\frac{3}{4}，而AF=3，AB=4$
∴FP=$\frac{16}{5}$…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與平面垂直的證明，直線與平面平行的判定定理的應(yīng)用，空間點(diǎn)、線、面距離的求法，考查空間想象能力以及計(jì)算能力．