Question

【題目】定義在D上的函數(shù)，若滿足： ，都有成立，則稱是D上的有界函數(shù)，其中M稱為函數(shù)的上界.

（I）設(shè)，證明： 在上是有界函數(shù)，并寫出所有上界的值的集合；

（II）若函數(shù)在上是以3為上界的有界函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（I）；（II）.

【解析】試題分析：

(1)由題意結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性即可證得結(jié)論，且所有上界的值的集合是；

(2)利用題意得到關(guān)于實(shí)數(shù)a的不等式，求解不等式可得實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

試題解析：

（I）證明：因?yàn)?/span>，

所以在上是增函數(shù). 所以. 即，

所以，所以是有界函數(shù)．

所以，上界M滿足M≥1，所有上界M的集合為．.

（II）解：因?yàn)楹瘮?shù)在上是以3為上界的有界函數(shù)，

所以在上恒成立.

所以， ，

令，則，所以在上恒成立，

所以， 在上恒成立，

令，則在上是減函數(shù)，

所以；

令，則在上是增函數(shù)，

所以，.

所以，實(shí)數(shù)a的取值范圍．