Question

18．三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥平面ABC，AA₁=AB=AC=1，E、F分別是CC₁、BC的中點(diǎn)，AE⊥A₁B₁
（1）證明：AB⊥AC
（2）在棱A₁B₁上是否存在一點(diǎn)D，使得平面DEF與平面ABC所成銳二面角的余弦值為$\frac{\sqrt{14}}{14}$？若存在，說明點(diǎn)D的位置，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）推導(dǎo)出AB⊥AE，ABy⊥AC，從而AB⊥面A₁ACC₁，由此能證明AB⊥AC．
（2）以A為原點(diǎn)，AB，AC，AA₁所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出棱A₁B₁上存在中點(diǎn)D，使得平面DEF與平面ABC所成銳二面角的余弦值．

解答 證明：（1）∵AE⊥A₁B₁，A₁B₁∥AB，∴AB⊥AE，
又∵AE∩AA₁=A，∴AB⊥面A₁ACC₁，
又∵AC?面A₁ACC₁，∴AB⊥AC．
解：（2）以A為原點(diǎn)，AB，AC，AA₁所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則A（0，0，0），E（0，1，$\frac{1}{2}$），F(xiàn)（$\frac{1}{2}，\frac{1}{2}$，0），A₁（0，0，1），B₁（1，0，1），
假設(shè)棱A₁B₁上存在一點(diǎn)D，使得平面DEF與平面ABC所成銳二面角的余弦值為$\frac{\sqrt{14}}{14}$，
設(shè)D（λ，0，1），設(shè)平面DEF的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
$\overrightarrow{FE}$=（-$\frac{1}{2}，\frac{1}{2}，\frac{1}{2}$），$\overrightarrow{DF}$=（$\frac{1}{2}-λ$，$\frac{1}{2}，-1$），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{FE}=-\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DF}=（\frac{1}{2}-λ）x+\frac{1}{2}y-z=0}\end{array}\right.$，取x=3，得$\overrightarrow{n}$=（3，1+2λ，2-2λ），
平面ABC的法向量$\overrightarrow{m}$=（0，0，1），
∵平面DEF與平面ABC所成銳二面角的余弦值為$\frac{\sqrt{14}}{14}$，
∴|cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{m}$＞|=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{m}|}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{m}|}$=$\frac{|2-2λ|}{\sqrt{9+（1+2λ）^{2}+4（1-λ）^{2}}}$=$\frac{\sqrt{14}}{14}$，
解得$λ=\frac{1}{2}$或$λ=\frac{7}{4}$（舍）．
∴棱A₁B₁上存在中點(diǎn)D，使得平面DEF與平面ABC所成銳二面角的余弦值為$\frac{\sqrt{14}}{14}$．

點(diǎn)評 本題考查線線垂直的證明，考查滿足條件的點(diǎn)是否存在的判斷與求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．